ハンケル表現と対称錐上の調和解析、及びその数論等への応用

汉克尔表示、对称锥的调和分析及其在数论中的应用等。

基本信息

批准号：
14J06457
负责人：
井上公人
金额：
$ 1.02万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

多変数の正規分布の族から定まる統計多様体に対し、その一般的な測地線がP. S. Eriksen (1987) によって指数行列の部分行列を用いて構成されている。Calvo-Oller (1990) によって問題の統計多様体は対称空間である正定値対称行列の空間に等長に埋め込まれており、この空間の測地線は指数行列で与えられる。従ってEriksenの示した事実は明らかにこの埋め込みの様子が関係していると考えられる。しかし、問題の統計多様体と対称空間の間の関係は明確な形では述べられていない。本研究ではこの結果の背景として、対称空間の一つであるジーゲル上半空間を考え、この空間の幾何的構造からEriksenの結果を説明した。以下、本研究の結果を述べる。ジーゲル上半空間における境界成分への射影に対して、一点の逆像としてファイバー定めると、その虚部として問題の統計多様体が得られる。Eriksenの測地線の構成における指数行列から部分行列をとる操作も、同様な射影の制限として得られる。そしてこの指数行列はジーゲル上半空間のある部分対称領域の測地線のうち、射影に対して水平的なものとして特徴付けられるものである。Eriksenの結果を本質的に応用する形で、上の部分対称領域の射影の像がファイバーに一致することを示す。また、Eriksenの結果そのものはこの部分対称領域の測地線が有する大域的な性質として言い換えられる。つまり部分対称領域の測地線が一点で射影に対し水平的な接ベクトルを持てば、この測地線の接ベクトルは至る所水平的となる。このようにして、ジーゲル上半空間の部分対称領域を調べることの過程として、Eriksenの結果を説明することができた。

P. S. Eriksen (1987) 使用指数矩阵的子矩阵构建了由多变量正态分布族定义的统计流形的一般测地线。根据 Calvo-Oller (1990) 的观点，所讨论的统计流形以相等的长度嵌入正定对称矩阵的对称空间中，并且该空间的测地曲线由指数矩阵给出。因此，埃里克森所展示的事实显然被认为与这种嵌入状态有关。然而，所讨论的统计流形与对称空间之间的关系并没有明确说明。在本研究中，作为这一结果的背景，我们考虑了对称空间之一的西格尔上半空间，并从该空间的几何结构解释了埃里克森的结果。本研究的结果如下所述。如果我们将纤维定义为投影到西格尔上半空间中的边界分量上的一点的逆像，我们就获得了所讨论的统计流形作为其虚部。埃里克森测地线构造中从指数矩阵中取出子矩阵的操作也可以作为类似的投影限制来获得。这个指数矩阵的特点是水平于西格尔上半空间的某个部分对称区域的测地线之间的投影。本质上应用埃里克森的结果，我们表明上述部分对称区域的投影图像与光纤重合。此外，埃里克森的结果本身可以表示为该部分对称区域中测地曲线的全局属性。换句话说，如果部分对称区域中的测地线在一点处具有投影的水平切向量，则该测地线的切向量到处都是水平的。通过这种方式，我们能够将埃里克森的结果解释为研究西格尔上半空间中次对称区域的过程。