ワイル群不変なジャクソン積分のq差分系とその応用

Jackson积分Weyl群不变q差系统及其应用

基本信息

批准号：
21540225
负责人：
伊藤雅彦
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Tokyo Denki University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009-04-01 至 2013-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度得られた結果は、BC型ジャクソン積分が満たす一階連立q-差分方程式系の係数行列をガウス分解(LU分解)の形で具体的に表示したことであった。今年度は、この結果を楕円型のBC型超幾何積分に拡張することを試みた。そのために、昨年度ガウス分解を得るまでに技術的に必要だったいくつかの概念を楕円型の場合に置き換えられるかを検討した。具体的には、昨年度の研究で定義した「BC型補間多項式」と呼ばれる対称多項式の族を、ワイル群対称性を持つテータ関数の族で置き換えて、「補間多項式」と同様の性質を持つかを調べた。ここではこの関数の族を楕円型の「補間関数」と呼ぶことにする。「補間関数」を解析する試みは、その後、神戸大・野海正俊氏と連携して研究を続けている。この楕円型の「補間関数」に関しては、部分的にではあるが所望の性質を確認した。その性質として特に、「BC型補間多項式」の特徴である三項間漸化式の類似の結果が、楕円型の「補間関数」に対しても成立することがわかった。現在その成果をまとめている。その他、今年度は連携研究者である名古屋大・岡田聡一氏と以前から続けていたシューア関数の行列式に関する結果を、Developments in Mathematics 23巻、「PARTITIONS,Q-SERIES,AND MODULAR FORMS」の10章として出版することができた。また他にも、シューア関数に関係する別の行列式の結果を、伊藤、岡田と琉球大・石川雅雄氏での共著としてプレプリントサーバArxiv上にアップロードした。

去年得到的结果是将BC型Jackson积分满足的一阶联立q差分方程组的系数矩阵具体表示为高斯分解（LU分解）的形式。今年，我们尝试将这一结果扩展到椭圆 BC 型超几何积分。为此，我们研究了去年获得高斯分解技术上必需的一些概念是否可以用椭圆情况代替。具体来说，我们将去年研究中定义的称为“BC型插值多项式”的对称多项式族替换为具有Weyl群对称性的theta函数族，并找出它们是否具有与“插值多项式”相同的性质。我调查了一下。在这里，我们将这一系列函数称为椭圆“插值函数”。从那时起，与神户大学的 Masatoshi Noumi 合作，分析“插值函数”的尝试一直在继续。关于这个椭圆“插值函数”，所需的属性得到了确认，尽管是部分的。特别是，发现作为“BC型插值多项式”的特征的三项式递推公式的类似结果也适用于椭圆型“插值函数”。我们目前正在总结结果。此外，今年，我们将在《数学发展》第 23 卷、《PARTITIONS, Q 系列和模块化形式”。它可以作为一章出版。此外，琉球大学的 Ito、Okada 和 Masao Ishikawa 已将另一个与 Schur 函数相关的行列式结果上传到预印本服务器 Arxiv。