非指数型分布族の情報幾何学の応用

信息几何在非指数分布族中的应用

基本信息

批准号：
19654013
负责人：
田中勝
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Fukuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
财政年份：
2007
资助国家：
日本
起止时间：
2007 至 2009
项目状态：
已结题

项目摘要

非指数型分布族であるq-正規分布族の情報幾何学を考えるとき,元になる計量がフィッシャー情報行列をスケール変換したものになる.このスケール因子が実はq-正規分布から得られるエスコート分布の規格化因子になっている.このことは,一昨年および昨年の研究結果から明確になったことだが,この事実が非指数型分布族の情報幾何学を構成する際に最も注意を払わなければならないポイントとなっている.ところで,q-正規分布は,それ自体確率密度関数でありながら,何らかの量の期待値を計算するときには,そのエスコート分布で計算することになっている.これは一種の約束であり,なぜそうする必要があるのかということには明確に誰も答えられていない.このことが,非指数型分布族を実際の問題に適用するときに単なる現象論を記述するための道具として割り切るしかないといわれる所以である.しかし,今回期待値を計算する際に「なぜ」q-正規分布そのものではなくエスコート分布を使うのかということには答えることはできていないが,エスコート分布で期待値を計算することは一体「なに」を計算したことになるのかということを明らかにすることができた.具体的には,t-分布を考えると,これはq-正規分布の一種とみなすことができる事を利用して調べると,エスコート分布を用いることは,仮想的にデータの個数を2個だけ増加させることに対応し,その補償としてTsallisエントロピーを減少させるということがわかった.つまり,エスコート分布を考えることは「エントロピーを犠牲にして仮想的にデータ数を増やすこと」に対応しているのである,このことについては更に大偏差原理との関係やエントロピーではなく相対エントロピーの変化など,まだ多くの量についてどのような変化が生じるのかを定量的に求めて比較する必要があるが,これらは今後の課題である.

当考虑 q 正态分布族（非指数分布族）的信息几何时，基础度量是按比例缩放的 Fisher 信息矩阵，该比例因子实际上是从 q 正态分布获得的护航分布。从前年和去年的研究结果中可以清楚地看出，这一事实是构建非指数分布族的信息几何时最需要关注的事实。虽然正态分布本身就是一个概率密度函数，但是在计算某个量的期望值时，应该使用它的护航分布来计算。这是一种承诺，为什么没有人这样做呢？这就是为什么说在将非指数分布族应用于实际问题时，我们别无选择，只能将其仅仅视为描述现象学的工具，而在计算期望值时。这次，尽管我们无法回答是否使用 Escort 分布而不是 q 正态分布本身的问题，但我们无法回答使用以下方法计算期望值时正在计算“什么”的问题Escort 分布？具体来说，在考虑 t 分布时，可以将其视为一种 q 正态分布，对应于将数据数量增加 2，我们发现 Tsallis 熵减少作为补偿。换句话说，考虑护航分布相当于“以牺牲熵为代价实际上增加了数据数量”，仍然需要定量确定和比较发生的变化。在许多数量上，例如与大偏差原理的关系以及相对熵而不是熵的变化，但这些都是未来的问题。