ドラーム・ヴィット複体の一般化と,その導く傾きスペクトル系列の退化の研究

Drumm-Witt复形的泛化及其斜率谱级数的简并性研究

• 批准号: 12J09501
• 负责人: 宮谷 和尭
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J09501/
• 关键词: 超幾何函数; 有限体上の超幾何函数; Dwork family

本年度の前半では,リジッドコホモロジーの整構造にかんする研究を行った,より詳しくは,正標数の完全体k上定義された滑らかな多様体XのリジッドコホモロジーはWitt環W(k)の商体を係数とする線型空間であるが,これにはDavis, Langer, Zinkの3氏の研究により自然にW(k)部分加群が定まる.これが格子となっているか否か,および,Xが固有(あるいは射影的)である場合にクリスタルコホモロジーと比較できるか否かを考察した.リジッド解析空間の変種を使うというアイディアを得,当初は肯定的に解決することができそうだと考えていたが,いくつかの問題があって解決に到らなかった.本年度の後半では,有限体Fq上定義されたある種の超曲面について,(1)クリスタルコホモロジーのunit rootと超幾何級数の関係(2)ゼータ函数と,有限体上の超幾何函数の関係を考察した.(1)に登場する超幾何級数は,有限体TqのWitt環を係数とする通常の超幾何級数である.本研究で,この超幾何級数を用いて,超曲面のクリスタルコホモロジーがunitrootをもつか否かを判定し,もつならばその具体的な公式を与えることができることが分かった.この結果はYu(2009)のDwork familyにかんする結果の直接の拡張であり,これ自体の証明の手法は新しくないが,(2)に現れる超幾何函数と関係づけられるという事実が目新しいものである.(2)に登場する超幾何函数は,Greene(1987)によって定義された「有限体上の超幾何函数」であり,有限体F-qの元に対して代数的数を対応付ける写像である.本研究で,この超幾何函数を用いて,超曲面のゼータ函数を具体的に記述できることを証明した.以上の2種類の超幾何函数(級数)において,そのパラメータがきちんと対応していることを見出したのが,本研究の最も重要な点である.

今年上半年，我们对结构良好的刚性上同调进行了研究。具体来说，在正特征全域k上定义的光滑流形X的刚性上同调是维特代数W(k)的商它是一个带有系数的线性空间，其中包括 Davis、Langer、 Zink 的研究自然决定了 W(k) 子模。这是否是晶格，以及当 X 唯一（或射影）时是否可以与晶体上同调进行比较。我们考虑了以下内容。使用刚性解析空间的变体。 ,起初，我们认为可以积极地解决这个问题，但是对于晶体上同调的（1）单位的超曲面，有几个问题阻碍了我们的解决。根与超几何级数的关系 (2) 我们考虑了有限域上zeta函数与超几何函数的关系。(1)中出现的超几何级数是一个普通的超几何级数。我们发现利用几何级数可以判断超曲面的晶体上同调是否有单位根，如果有，则给出其具体公式。这个结果是基于Yu（2009）的Dwork。这是关于族的结果的直接扩展，虽然证明方法本身并不新鲜，但它可以与（2）中出现的超几何函数相关这一事实是新的：A函数是“超几何函数”。 Greene (1987) 定义的“有限域上的超几何函数”，是“有限域上的超几何函数”。它是将代数数与F-q的元素联系起来的映射。在本研究中，我们证明了超曲面的zeta函数可以用这种超几何函数具体描述。以上两类超几何函数是本研究最重要的一点是我们发现（系列）的参数正确对应。