シュレーディンガー方程式による特異性の伝播について

关于薛定谔方程的奇点传播

基本信息

批准号：
06J11105
负责人：
伊藤健一
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

1.多様体上でのシュレーディンガー方程式シュレーディンガー時間推進作用素による伝播速度は無限大である.それゆえ超局所的特異性を考察するうえでは,通常の波面集合だけでは不十分であり,無限遠方での増大度も合わせた形で特異性を考えなければならない.中村周教授(東京大学)は,遠方での増大度を自由系の時間推進作用素で再び元の波面集合型特異性に戻すというアイデアを用いて漸近的ユークリッド空間において時間推進作用素の特異性について研究した(2003年).しかしこのアイデアは多様体上ではある意味であまり有効ではない.この問題を,動径方向と方位角方向を完全に分離する新しい自由系を導入することにより回避し,散乱多様体上において特異性をとらえることに成功した.またさらに有限時間の波動作用素が,フーリエ積分作用素になることも得られた.これに続き,散乱多様体上でも適当なポテンシャル条件のもとで波動作用素の存在および完全性を証明することに成功した.すると上と同様の方法で(無限時間の)波動作用素がフーリエ積分作用素であることが分かる.さらに散乱作用素のフーリエ変換が,運動量の同位角成分が0となる部分の近くを除いて,フーリエ積分作用素になることも分かった.2.エルミート固有関数の多重積積分評価調和振動子ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素の固有関数の多重積積分を評価し,非線形問題に応用した.時間推進作用素をフーリエ積分作用素型の作用素で近似することで多重積積分を評価するのであるが,その際,コンパクト多様体上のラプラシアンの固有関数の場合と異なり,相関数を定義できない領域が相空間上に現れる.ここでは空間方向と運動量方向を等価にみることで,パラメトリックスを二つの部分に分けて議論し,結果を得ることに成功した.

1. 流形上的薛定谔方程由于薛定谔时间推进算子的传播速度是无限的，因此，当考虑超局域奇点时，单独的法向波前集是不够的，并且Shu Nakamura教授（东京大学）提出，使用自由系统时间推进算子的思想，可以将长距离的增加程度返回到原始波前集合类型奇点。 (2003)研究了空间中时间推进算子的奇异性。然而，这个想法在某种意义上对流形不是很有效。这个问题可以使用一种完全分离径向和方位角方向的新方法来解决，即引入自由。系统中，我们成功地捕获了散射流形上的奇点。我们还发现有限时间波算子变成了傅里叶积分算子。随后，我们成功地捕获了散射流形上的奇点，甚至在物体上也适用。我们成功地证明了势条件下波算子的存在性和完备性，然后，用与上述相同的方法，我们发现（无限时间）波算子是傅里叶积分算子的存在性和完备性。波算子在位势条件下的完备性还发现，除了动量同位素分量变为0的部分之外，傅里叶变换成为傅里叶积分算子。 2. Hermite本征函数薛定谔作用的多重积分积分评估。振荡电位我们评估了基本特征函数的多重积分并将其应用于非线性问题。我们通过使用傅里叶积分算子类型算子来近似时间推进算子来评估多重积分。与它的本征函数不同，它非常成功。