Gブラウン運動に対する確率解析と非線形熱方程式への応用

G-布朗运动的随机分析及其在非线性热方程中的应用

• 批准号: 12J04442
• 负责人: 大須賀 恵実
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J04442/
• 关键词: G-ブラウン運動; G-期待値; importance sampling; ギルサノフ変換; 大偏差原理; 分散不確定性; ラプラス原理; 変分表現

G-ブラウン運動は, 分散に不確定性をもつブラウン運動の概念を定式化した概念である. S. Peng(2007, 2008)はG-ブラウン運動を実現する劣線形期待値として, G-期待値を構築した. 本研究の目的は, 非線形熱方程式の粘性解を, G-ブラウン運動を用いた確率論的手法によって解析し, 最終的には非線形偏微分方程式論においてまだ知られていない粘性解の振る舞いを導くことである. そのための基礎研究として, 本年度は通常の確率解析において知られている結果が, G-ブラウン運動の場合にも成り立つかを調べた. 具体的には以下の研究を行った.私は昨年度までに, G-ブラウン運動に対するギルサノフの公式を得た. これは, G-期待値に重みを付けることによって, ドリフト付きG-ブラウン運動をG-ブラウン運動とするような劣線形期待値を得るための変換公式である. またこの他に, G-ブラウン運動の汎関数に対する変分表現も得, その応用として, G-ブラウン運動とG-ブラウン運動の2次変分の同時法則に対する大偏差原理を導出することができることも分かった.通常の確率解析においてはギルサノフの公式の応用として, importance samplingがある. importance samplingとは, 分散を最小化するような測度変換の下でサンプリングを行うことで, 期待値評価の精度を上げる手法である. 特にギルサノフ変換による測度変換のなかで分散を最小化するという問題に対し, Guasoni-Robertson(2008)は大偏差原理の理論を用いることで1つの答えを導いた. 本研究では, 彼らの結果をG-期待値の場合へ拡張した(大阪大学の関根順教授・加藤恭助教との共同研究に基づく). この結果により, 分散に不確定性のある状況下でのimportance samplingが可能となった. これによりG-期待値のシミュレーションの理論のさらなる発展が期待される.

G-Brown的运动是一个概念，它以方差不确定性提出了布朗运动的概念。 S. Peng（2007，2008）将G-Brown的运动构建为实现G-Brown运动的均一期望值。这项研究的目的是使用G-Brown运动使用随机方法分析非线性热方程的粘性溶液，并最终得出在非线性部分微分方程理论中尚不清楚的粘性溶液的行为。作为一项基础研究，今年我们研究了正常概率分析中已知的结果是否也适用于G-Brown的运动。具体来说，我们进行了以下研究。到去年，我获得了吉尔萨诺夫（Gilsanov）的G-Brown动议公式。这是因为我们加权了G-Brown的表达。这是一个转换公式，用于获得均匀期望，例如漂移的G棕色运动作为G-Brown运动。此外，我们还获得了G-Brown运动功能的变异表达式，并且发现G-Brown运动和G-Brown运动的二次变异的同时定律的大偏差原理可以作为应用程序得出。重要性抽样是吉尔萨诺夫公式的应用。重要性抽样是一种通过在最小化方差的度量转换下进行采样来提高期望值评估准确性的方法。特别是，Guasoni-Robertson（2008）通过使用大偏差原理理论得出了一个答案。在这项研究中，他们的结果扩展到了GETHED的价值观（基于与Sekine Jun教授和大阪大学的Kato Kyo教授的联合研究）。该结果使在方差不确定性的情况下实现重要性取样成为可能。预计这将进一步推进GETERT值模拟的理论。