ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルに関する研究

泊松随机薛定谔算子谱的研究

• 批准号: 17740081
• 负责人: 神永 正博
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Tohoku Gakuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740081/
• 关键词: デルタポテンシャル; シュレーディンガー作用素; 非線形方程式; ランダムポテンシャル

本研究は,当初,ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルの決定問題を目標として申請されたが,一部の例外(2次元の場合で,サイトポテンシャルの積分値が4πの整数倍になる場合)を除いて問題が解決されてしまったため,問題を他のものに変更した.変更当初は,デルタ型のサイトポテンシャルがボアソン分布するモデルを考えていたが,自己共役性の証明がうまくいかず,成果は得られなかった.その後,科研費を利用して参加した岡山大学での数学会で,偶然,埼玉大学の太田雅人助教授と会い,問題についていろいろと話をするうちに,非線形シュレーディンガー方程式にデルタ型のdefectがある場合の問題を考えると面白いのではないかという展開になった.そ1の後,たびたび科研費を利用させていただき,太田氏と議論を深め,以下のような問題について,部分的な結果を得た.まず,attractiveなnonlinearityとrepulsiveなnonlinearityを原点で接合した空間一次元の非線形シュレーディンガー方程式を考える.比較的簡単な議論で,この方程式が定常解を持たないことが証明できる.そこで,原点にデルタ型のdefectを入れてみる.Defectがrepulsive(係数が正)であれば定常解は存在しないが,attractive(係数が負)であれば,定常解が出現することが証明できる.また,その安定性と不安定性とパラメータの関係を示すことができる.これは,解が具体的に表示できることを陽に利用することにより,解のnormの二乗の微分が計算して証明される.現在,本結果を整理中であり,できるだけ早い時期に論文にまとめて投稿する予定である.

这项研究最初是为了解决确定泊松随机薛定谔算子的谱的问题而提出的，但也有一些例外（在二维情况下，当位点势的积分值为 4π 的整数倍时）。通过排除它解决了问题，我将问题改为其他问题。在更改之初，我正在考虑一个模型，其中δ型位点势是布瓦松分布的，但我无法证明自伴性。后来，在我利用科学研究资助参加的冈山大学数学会议上，我偶然遇到了埼玉大学助理教授太田正人，当我们谈论各种问题时，我意识到非线性施罗德我们产生了这样的想法：当 Dinger 方程中存在 delta 型缺陷时，考虑这个问题会很有趣。此后，我经常使用科学研究资助来加深与 Ota 先生的讨论，并且我们提出了以下问题。我们得到了 的部分结果。首先，我们考虑空间一维非线性薛定谔方程，其中吸引非线性和排斥非线性在原点相连，通过一个相对简单的论证，我们可以证明该方程没有平稳解。因此，我们在原点插入一个 delta 型缺陷。如果是，则不存在稳定解，但如果具有吸引力（系数为负），则可以证明存在稳定解，并且可以显式地显示其稳定性、不稳定性和参数之间的关系。利用解可以具体表达的事实，计算并证明解的范数平方的微分。我们目前正在整理结果，并将尽快以论文形式提交。 。