代数多様体に付随する種々の母函数の研究

与代数簇相关的各种生成函数的研究

• 批准号: 16740017
• 负责人: 高橋 宣能
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Hiroshima University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16740017/
• 关键词: 代数幾何学; モティーフ的ゼータ函数; 母函数; 対称積; 代数的サイクル; グラフ理論; ゼータ函数

最終年度である本年度は、与えられた多様体から様々な方法で得られる多様体の系列について広く研究を行うことを目標とした。(i)Z作用付きの多様体の圏のGrothendieck環に係数を持つモティーフ的ゼータ函数に関して、前年度までに得られた結果を発表した(投稿中)。これをヒントとして、通常の多様体の圏のGrothendieck環におけるモティーフ的ゼータ函数の場合に有理的でない例を構成することを試みたが、研究期間中に求める結果を得ることはできなかった。また、関連した話題として、対称積のZariski位相から元の多様体を復元する問題について考えた。Hrushovski-ZilberのZariski幾何において、標数0の代数閉体上の非特異多様体の間の全単射であって自己直積の間の(Zariski位相での)同相写像を引き起こすようなものはスキームとしての同型であることが知られている。同様の問題を対称積の場合について考察し、非特異射影曲線の場合について同様の結果を得た。(ii)対称積以外の多様体の系列として、jet空間・arc空間や形式的ループ空間から得られる情報について考察した。これらの空間を用いた特異点の研究(特に正標数での特異点の研究との類似)やtoric多様体の量子コホモロジーの解釈などに触発され、これらの空間を正標数におけるFrobenius写像の一種の類似と見る視点に立っていくつかの試みを行った。例として、これらの空間を用いて標数0でのtight closureを幾何学的に構成しようと試みたが、いまのところ成功には至っていない。もう一つ、新しい発想が必要とされるようである。

今年，即最后一年，我们的目标是对给定流形可以通过各种方法获得的一系列流形进行广泛的研究。 (i) 我们提出了截至前一年关于带有 Z 作用流形范畴的格洛腾迪克代数系数的类基序 zeta 函数的结果（目前正在提交）。以此为契机，我试图为普通流形范畴的格洛腾迪克代数中的类基序zeta函数构造一个非有理例，但在研究期间未能获得预期的结果。作为一个相关主题，我考虑了从对称乘积的 Zariski 拓扑恢复原始流形的问题。在 Hrushovski-Zilber 的 Zariski 几何中，特征 0 的代数闭域上的非奇异流形之间的双射导致自笛卡尔乘积之间的同胚（在 Zariski 拓扑中），已知它同构为 。对于对称产品的情况考虑了类似的问题，对于非奇异投影曲线的情况也得到了类似的结果。 (ii) 我们将从射流空间、弧空间和形式环空间获得的信息视为流形序列而不是对称乘积。受到使用这些空间进行奇点研究（特别是与正特性奇点研究的相似性）和对环面簇量子上同调的解释的启发，我们将这些空间用作正特性中的弗罗贝尼乌斯图，我做了几次尝试。将其视为一种相似性的观点。作为一个例子，我尝试使用这些空间在几何上构造一个特征为 0 的紧密闭包，但到目前为止我还没有成功。似乎需要另一个新想法。