量子不変量と普遍摂動的不変量(LMO不変量)の位相的意味付け問題の研究

量子不变量和普遍微扰不变量（LMO不变量）的拓扑意义问题研究

• 批准号: 04J06720
• 负责人: 栗屋 隆仁
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-04J06720/
• 关键词: 量子不変量; 行列モデル; 行列積分; LMO不変量; Lie環; 量子群; 三次元多様対; 結び目; 3次元多様体; 幾何学; 数理物理; グラフ; 位相; 場の量子論; 経路積分; 摂動的不変量; Lie群

ランダム行列モデルは1960年代にWignerにより重い原子核のエネルギー準位を調べる為に導入された。その後、リーマンゼータ関数の零点分布等への整数論的応用や、本研究の背景となっている摂動論によらない超弦理論の定式化への応用等が知られている。RozanskyやMarinoによってザイフェルトホモロジー球面の量子G不変量に対して、M上の平坦接続の寄与に関する和としての表示が得られており、特にその可約な平坦接続に関する部分はCartan部分代数上の積分で表される。変数たちを対応する行列の固有値とみなすことで、その積分はGaussian G ensembleと呼ばれる行列モデルの行列積分であるとみなすことができる。LMO不変量をGで評価した物は量子G不変量の数論的極限と解釈できることを筆者は以前示している。このことからザイフェルトホモロジー球面に限らず、一般の有理ホモロジー3球面に対する量子不変量や、その数論的極限であるLMO不変量(をGで評価した物)を行列積分で表示したいと思うのは自然である。簡単のため、Mはframed knot S^3からKに沿ってsurgeryして得られるものとする。Theorem 1.GをU(N)、O(2N)、Sp(N)のいずれかとしgをそのLie環とする。このとき、∫^<(G)>W_gZ(K)=W_gZ^<LMO>(M)LMO不変量は量子G不変量の自明接続の寄与を捉えていると予想されているので、今回得られた上記の定理は、任意の有理ホモロジー3球面に対する量子G不変量の自明接続の寄与が行列積分の形で書けること、すなわち、場の理論とは別のアプローチからの、量子不変量の非摂動的定式化を予言している。

随机矩阵模型由 Wigner 在 20 世纪 60 年代引入，用于研究重核的能级。从那时起，黎曼zeta函数等的零点分布的数论应用，以及作为本研究背景的不依赖于微扰理论的弦理论的公式化的应用已经为人所知。 Rozansky 和 ​​Marino 得到了 Seifert 同调球的量子 G 不变量的表达式，作为平面连接对 M 的贡献之和，特别是，关于可约平面连接的部分在嘉当子代数上表示。作为一个整体。通过将变量视为相应矩阵的特征值，积分可以视为称为高斯 G 系综的矩阵模型的矩阵积分。作者之前已经证明，用 G 求值的 LMO 不变量可以解释为量子 G 不变量的算术极限。由此，我不仅想表达 Seifert 同调球，而且还想表达一般有理同调 3 球的量子不变量，以及它的算术极限，LMO 不变量（由 G 计算），使用矩阵积分是很自然的。为简单起见，M 是通过从框架结 S^3 沿 K 进行手术获得的。定理 1. 令 G 为 U(N)、O(2N) 或 Sp(N)，并令 g 为其李环。此时， ∫^<(G)>W_gZ(K)=W_gZ^<LMO>(M) 由于 LMO 不变量期望捕获量子 G 不变量的平凡连接的贡献，因此我们这次得到了 。上述定理是任意的我们预测量子 G 不变量对有理同调 3 球体的平凡联系的贡献可以写成矩阵积分的形式，即来自不同于场论的方法的量子不变量的非微扰表述。是。