非可換同変不変量による3次元トポロジーの研究

使用非交换等变不变量研究 3D 拓扑

基本信息

批准号：
11J01564
负责人：
北山貴裕
金额：
$ 1.02万
依托单位：
The University of Tokyo (2012)Kyoto University (2011)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、特に非可換な被覆変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、基本群のn次元表現のモジュライ空間であるn次元指標代数多様体のideal pointと呼ばれる無限遠点から基本群の2次元的な分解を捉える研究、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間の存在を縫い目付き多様体論の枠組みにおいて捉える研究を行った結果、以下のような成果が得られた。1.Culler-Shalenにより、基本群の2次元指標代数多様体のideal pointに付随して、3次元多様体内に本質的曲面が構成されることが知られていた。この理論をより一般のn次元指標代数多様体の場合にまで拡張することに取り組んだ。まず、n次元指標代数多様体のideal pointに付随して、基本群がbuildingと呼ばれる特別な単体複体への非自明な作用が得られることを示した。また、そのような作用から3次元多様体内に性質の良い分岐曲面が構成され、基本群にgraph of groupsの拡張概念である2-complex of groupsの構造が誘導されることを発見した。2.Agolにより、「非球面的3次元多様体がRFRSと呼ばれる性質を満たす基本群を持つならば、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間を持つ」ことが示されていた。最近、Agol、Liu、Przytycki-Wiseらにより、RFRSな基本群を持つ3次元多様体の分類が完了している。Agolはnormal surface理論の枠組みによる組み合わせ的な手法を用いて証明を与えていたが、縫い目付き多様体論の枠組みによるより位相的な手法による別証明を与えた。これはAgol、Gabaiらによってより自然なアプローチの可能性として指摘されていたものである。

今年，我们的目标是从具有非交换覆盖变换群的覆盖空间中捕获 3 维流形的拓扑结构，作为理解基本群从无穷远点的二维分解的研究结果。，以及在缝合流形理论框架下理解有限覆盖空间（例如圆周上的纤维束）的存在性的研究，我们发现了以下结果。 1.Culler-Shalen 知道，本质曲面是在附加到基本群的 2 维指数代数簇的理想点的 3 维流形中构造的。我们致力于将该理论扩展到 n 维索引代数簇的更一般情况。首先，我们证明了基本群在一个称为“建筑”的特殊单纯复形上获得了一个非平凡的作用，该复形附着在 n 维索引代数簇的理想点上。此外，我们发现这样的行为在三维流形内创建了具有良好性质的分叉表面，并且在基本群中引入了群图的扩展概念2-复合群结构。 2. Agol 证明“如果一个非球面三维流形有一个满足 RFRS 属性的基本群，那么它就有一个有限的覆盖空间，即圆周上的纤维丛。”最近，Agol、Liu、Przytycki-Wise 等人完成了具有 RFRS 基本群的三维流形的分类。 Agol 使用法向表面理论框架使用组合方法给出了证明，但他使用缝合流形理论框架使用更拓扑的方法给出了不同的证明。 Agol、Gabai 等人指出这是一种更自然的方法的可能性。