志村多様体の悪い還元の研究

Shimura流形不良约简研究

基本信息

批准号：
04J00027
负责人：
伊藤哲史
金额：
$ 4.61万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

私の研究の目的は,代数幾何学・リジッド解析学・表現論等の様々な手法を組み合わせて,志村多様体の悪い還元の構造を解明し,そのコホモロジーと保型表現との関係を明らかにすることである.昨年度までの研究で,私は,標数pのモジュラー形式であるハッセ不変量が,高次元ユニタリ型志村多様体のp階数階層上に一般化できることを見出した.昨年度までの研究に引き続き,本年度は,ハッセ不変量の志村多様体の幾何学やコホモロジーへの応用に関する研究を行った.具体的には,岩堀型のレベル構造を持つユニタリ型志村多様体の,標数p還元の1進コホモロジーを考察した.このような種類の志村多様体は,標数pにおいて悪い還元をもつ.標数p還元は滑らかでも既約でもなく,複数の既約成分が複雑に交わっている.私は,高次元版ハッセ不変量を用いることにより,既約成分の個数や,その交わり方を決定した.そして,その結果を,ラポポート・ジンクの重さスペクトル系列やクローゼルによるユニタリ型志村多様体のコホモロジーの消滅定理を組み合わせることで,岩堀型のレベル構造を持つユニタリ型志村多様体の1進コホモロジーに関する公式を得ることができた.このようにして得られた公式は,ユニタリ群に対するジャッケ・ラングランズ対応やテータ関数論などの,保型表現論への興味深い応用を持つと期待される.実際,古典的なモジュラー曲線の場合には,そのような応用が可能であることが知られている.しかし,私が本年度に得た高次元版の公式は,高次元特有の様々な事情により,見かけが複雑なものになってしまっており,現時点では応用可能ではない.応用可能な公式を得るためには,幾何的な議論により,公式のさらなる単純化を行う必要があると思われる.これは将来への課題である.

去年我的研究目的是结合代数几何、刚性分析、表示论等多种方法来阐明Shimura流形的不良约简结构，并阐明其上同调和自守表示之间的关系。在之前的研究中，我发现Hasse不变量是特征p的模形式，可以推广到高维酉Shimura流形的p阶层次结构上。继去年的研究之后，今年我意志，哈斯不变量我们对 Shimura 流形在几何和上同调中的应用进行了研究，具体来说，我们考虑了具有 Iwahori 型能级结构的酉 Shimura 流形的特征 p 约简的线性上同调。模态场对特征 p 的约简不好，特征 p 约简既不平滑也不不可约，多个不可约分量以复杂的方式相交，不可约分量的数量以及它们如何相交。通过将结果与 Rapoport-Zink 权谱级数和酉 Shimura 流形的 Clausel 上同调消失定理相结合，我们可以计算出我们能够得到激进上同调的公式。由此获得的公式在自守表示理论中有有趣的应用，例如酉群和 theta 函数理论的 Jacquet-Langlands 对应关系。事实上，众所周知，这种应用在经典模曲线的情况下是可能的，但是，我今年获得的公式的高维版本由于维数特有的各种情况，外观很复杂，而目前还不适用。为了得到一个适用的公式，我们需要利用几何参数进一步简化该公式，这对未来来说是一个挑战。