正則写像半群ならびにバンドル上の複素力学系の研究

全纯半群和丛上的复杂动力系统研究

基本信息

批准号：
15740103
负责人：
角大輝
金额：
$ 1.73万
依托单位：
Osaka University (2005)Tokyo Institute of Technology (2003-2004)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

リーマン球面上の有理関数で生成された、写像の合成を積とする半群を有理半群とよび、そのリーマン球面上での力学系の研究を行った。特に、双曲性という性質をもつ有限生成有理半群のジュリア集合のハウスドルフ次元が半群のポアンカレ級数(微分に関するある種のディリクレ級数)の臨海指数で上から押さえられることを示した。また、半群が開集合条件という、フラクタル幾何学ではよく知られている条件をさらに満たす場合は、ジュリア集合のハウスドルフ次元と、ポアンカレ級数の臨界指数が一致することを示した。また、臨界値集合が有界な多項式半群の力学系のクラスを詳しく調べた。ジュリア集合の連結成分の個数が、多項式半群の各元の最大次数項のlogを取って得られる線形半群のジュリア集合の連結成分の個数で上から押さえることなどを示した。またそのクラスのうち、ジュリア集合が非連結になる半群特有の興味深いクラスにおいては無限遠点がファトウ集合に属することを示した。また、有限生成半群が空間に作用しているときの、その不変集合における、小コピーたちの重なり具合を図示したものから得られる代数的情報を相互作用コホモロジーとよび、その研究を行い、かつそれを有限生成多項式半群で臨界値集合が有界なものの力学系の研究に応用した。また、多項式半群の力学系の研究成果を応用して、ランダムな多項式力学系の研究に取り組み、無限遠点に向かう確率に関して複素平面上で定義された関数が、連続性、特異性、単調性、という悪魔の階段に似た性質を持つことが、かなり広いクラスで成り立つことを示した。以上の研究の成果については、カナダでの国際研究集会で発表し、Urbanski氏との共同研究のため赴いたUniversity of North Texas(アメリカ)での談話会で講演した。また、日大研修所で行われた力学系研究集会と、数理解析研究所で行われた複素力学系研究集会で研究成果を発表した。

其乘积是黎曼球面上有理函数生成的映射的组合的半群称为有理半群，我们研究了黎曼球面上的动力系统。特别是，我证明了具有双曲性质的有限生成有理半群 Julia 集的豪斯多夫维数被半群的庞加莱级数（一种与微分相关的狄利克雷级数）的临界指数从上面抑制。我们还证明，如果半群进一步满足开集条件（分形几何中众所周知的条件），朱莉娅集的豪斯多夫维数和庞加莱级数的临界指标就会重合。我们还详细研究了具有有界临界值集的多项式半群的动力系统类。结果表明，Julia 集的连通分量数可以通过线性半群的 Julia 集的连通分量数来抑制，该数是通过对线性半群的每个元素的最大度项取对数而获得的。多项式半群。在这些类中，在 Julia 集不连通的半群特有的一个有趣的类中，我们证明无穷远点属于 Fatou 集。此外，当有限生成的半群作用于空间时，从其不变集中的小副本的重叠图获得的代数信息称为交互上同调，我们对其进行研究并将其应用于动力系统的研究。有限生成多项式半群和有界临界值集。此外，应用多项式半群动力系统的研究成果，对随机多项式动力系统进行了研究，发现复平面上定义的函数关于趋向无穷远点的概率是连续的，我们已经证明，性别这一类似于魔鬼阶梯的属性可以在相当广泛的类别中找到。我在加拿大的国际研究会议上介绍了上述研究成果，并在美国北德克萨斯大学的学术讨论会上做了报告，并与Urbanski先生进行了联合研究。他还在日本大学研究所举行的动力系统研究会议和数学分析研究所举行的复杂动力系统研究会议上发表了他的研究成果。