非可換幾何学における局所指数定理と水*-指数関数

非交换几何中的局部指数定理和水*指数函数

基本信息

批准号：
15740045
负责人：
宮崎直哉
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740045/
关键词：
deformation quantization Poisson geometry regular Lie group formality theorem index theorem symplectic geometry integrable system cyclic theory K-theory deformation quantizations star product Symplectic geometry Symplectic group

项目摘要

本研究では非可換幾何学における変形量子化の果たす役割を考察し、またその応用について幾つか基本的な結果を得た。まず、通常考えられている多様体の非可換化を考える時もっとも物理的に見て自然な方法のひとつとして変形量子化が考えられるが、非可換化された後の空間の基本的な性質(コホモロジー理論、指数定理)などの研究はあまり進んでいなかった。そこで本研究ではそれらの計算、具体的な定理を得ることを目標として以下のような結果を得た。1)変形量子化の結果得られる非可換空間のコホモロジーである0次K-理論はもともとの可換な場合と変わらないが巡回理論の方は変形量子化の影響をうけること。2)非可換多様体の指数定理にはその変形をパラメトライズするコホモロジーの要素を反映させた形の公式がえられること。さらに、変形量子化された世界には*-指数関数を経由することによって自然にgerbeと呼ばれる概念が現われることなどもわかりつつある。もともとのgerbeは整数係数の3次コホモロジーの幾何学的実現であるが、それが非可換幾何と密接に関連しているということは非常に興味深いことであると思われることに加え、比較的最近Melroseらもtorsion classに対応しているgerbeに関する指数定理などを考察しているが、これらの研究と変形量子化における*-指数関数の計算はその背後で密接にかかわっていることが推察される。以上のような結果を踏まえ今後はさらに非可喚幾何学とコホモロジーの要素との関連、指数定理などを研究していきたい。

在这项研究中，我们考虑了变形量化在非交换几何中的作用，并获得了一些关于其应用的基本结果。首先，在考虑通常考虑的流形的非交换性时，形变量化被认为是物理上最自然的方法之一，但性质（上同调理论、指数定理）等的基础研究并没有取得太大进展。因此，在本研究中，我们旨在获得这些计算的具体定理，并获得了以下结果。 1）零阶K理论，即变形量化结果得到的非交换空间的上同调，与原来的可交换情况没有什么不同，但循环理论受到变形量化的影响。 2) 非交换流形的指数定理有一个公式，反映了参数化其变形的上同调元素。此外，越来越清楚的是，在变形的量化世界中，一个称为 gerbe 的概念通过 *-指数函数自然出现。最初的 gerbe 是整数系数的三次上同调的几何实现，但除了它与非交换几何密切相关这一点看起来很有趣之外，它还相对最近，Melrose 等人也考虑了指数定理gerbe，对应于挠率类，推测这些研究与变形量化中*-指数函数的计算在幕后密切相关。基于以上结果，我想进一步研究不可转几何与上同调元素的关系、指数定理等。