リエナール型微分方程式系の渦心点問題と第一積分の研究

Lienard型微分方程组涡心点问题及一阶积分研究

基本信息

批准号：
14740122
负责人：
林誠
金额：
$ 1.02万
依托单位：
Nihon University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740122/
关键词：
Lienard system Local center First integral Limit cycle Bogdanov-Takens system Duff-Levinson system FitzHugh-Nagumo system Duck solution local center limit cycle Lienard systems Center

项目摘要

本年度は、平成14、15年度の成果を3つの具体的な微分方程式系に応用し、以下のような成果を上げた。[1]リエナール型微分方程式系であり、力学系の分岐理論の分野で有名なBogdanov-Takens系に応用を試みた。その結果、limit cycleの非存在領域が、Hopf分岐の手法により知られている従来の領域よりも大幅に拡張された。その手順は次のように述べられる。・パラメータに関する条件(A):f(x,y)=0の下で、この系に第一積分が存在することが示された。・条件(A)に基づく範囲でのlimit cycleの非存在が期待され、数値シュミレーションによりそれが検証された。・不変領:域の構成とBendixson-Dulacの方法により、条件(A)よりも弱い条件:f(x,y)【less than or equal】0下でのlimit cycleの非存在の論証を行った。この成果はGlobal condition of the non-existence of limit cycles of Bogdanov-Takens systemという題名で雑誌Far East Journal of Mathematics and Scienceに掲載された。[2]電気回路に登場する3次元常微分方程式系であるBonhoffer-van der Pol系は、ある変数変換によりリエナール型微分方程式系に帰着されることがわかった。つまり、3次元系の解軌道の定性的性質が、ある不変な曲面(第-積分のこと)S上での2次元系の解軌道のそれと位相同値であることが示された。そこで、我々の方法をこの変換系に適用することを試みた。その結果、曲面S上には3つの特異点があり、2つは渦心点、他の1つはセパラトリヅクスになっていることがわかった。また、曲面Sの近傍から出発する3次元系の解軌道は、2つの渦心点を結ぶような形でjumpingを起こす。つまり、duck解の存在も示された。この成果はOn a closed orbit of some constrained systemという題名で雑誌Nonlinear Differential Equations and Applicationsに掲載予定(2005)である。[3]リエナール型微分方程式系におけるF(x)の振幅が非常に小さい場合に、そのlimit cycleが複数個出現する系についての研究を行った。これは渦心点から不安定な特異点に移行する際に生ずる奇妙な解軌道の振る舞いである。具体例として、Duff-Levinson系のlimit cycleの一意性が示された。これは、我々の以前の結果Mathmatica Japonicae,46(1997),pp.371-376の改善になっている。この成果はUniqueness of limit cycles in the Duff and Levinson-type systemという題名である海外雑誌に投稿中である。

今年，我们将2002年和2002年的成果应用到三个具体的微分方程组中，取得了以下成果。 [1] 我们尝试将其应用到 Bogdanov-Takens 系统中，该系统是一个 Lienard 型微分方程系统，在动力系统分岔理论领域很有名。结果，与Hopf分岔法已知的传统区域相比，极限环的不存在区域显着扩大。该过程描述如下。・结果表明，在参数条件(A)：f(x,y)=0 下，该系统存在第一积分。・基于条件（A）的范围内不存在极限环是预料之中的，并且通过数值模拟验证了这一点。・利用不变区域的结构和Bendixson-Dulac方法，我们证明了在弱于条件(A)的条件下极限环不存在：f(x,y) [小于或等于] 0。该成果发表在《远东数学与科学杂志》上，题为“Global condition of the non-existence of limitcycles of Bogdanov-Takens system”。 [2] 人们发现Bonhoffer-van der Pol系统是电路中出现的三维常微分方程系统，通过一定的变量变换可以简化为Lienard型微分方程系统。换句话说，证明了三维系统的解轨迹的定性性质与二维系统在某个不变曲面（第一积分）S上的解轨迹的定性性质是拓扑等价的。因此，我们尝试将我们的方法应用到这个转换系统中。结果发现S面上存在3个奇点，其中2个为涡中心，1个为分线。另外，从曲面S附近开始的三维系统的解轨迹会以连接两个涡中心的方式产生跳跃。换句话说，也证明了鸭子解的存在。该结果将发表在《非线性微分方程与应用》杂志（2005）上，标题为“On a close Orbital of some constrained system”。 [3] 我们对 Lienard 型微分方程系统中 F(x) 幅值很小时出现多个极限环的系统进行了研究。这是从涡旋中心过渡到不稳定奇点时发生的解轨迹的奇怪行为。作为一个具体例子，证明了Duff-Levinson系统极限环的唯一性。这是对我们之前的结果的改进 Mathmatica Japonicae, 46 (1997), pp. 371-376。该结果正在提交给一份题为“Uniqueness of limit Cycles in the Duff and Levinson-type system”的海外期刊。