代数的位相幾何学を用いた閉曲面上のグラフについての研究

用代数拓扑研究封闭曲面上的图

基本信息

批准号：
14740043
负责人：
中本敦浩
金额：
$ 2.11万
依托单位：
Yokohama National University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

申請者は,これまでの研究において,同一の閉曲面の2つの四角形分割がある局所的変形で移り合うかどうかを議論している.この研究において,閉曲面Fに四角形分割Gを固定すると,FのZ_2-ホモロジーの元(サイクルパリティーと呼ぶ)が定まることがわかり,2つの四角形分割が局所的変形で移りあうためには,このサイクルパリティーが等しいことが本質的であることがわかった.一方,閉曲面の偶三角形分割にも,四角形分割のサイクルパリティーと同様に,基本群からS_3への準同型写像(モノドロミーと呼ぶ)で、2つの偶三角形分割がある局所的変形を用いて移り合えば,それが等しくなるようなものが定義できることもわかっていた.平成15年度の研究において,閉曲面の偶三角形分割(各頂点の次数が偶数の三角形分割)に対して,N-変形と呼ばれる変形を定義し,「球面の2つの偶三角形は,その3部グラフとしての部集合の大きさがそれぞれ等しければ,N-変形で互いに移り合う」ことを証明することができた.さらに,本年度の研究により,この定理を,任意の閉曲面上の十分の頂点数が大きい3-染色的な偶三角形分割について,拡張することに成功した.(つまり,モノドロミーが自明な場合に目標を達成できた.)しかしながら,定理中の頂点数の条件に三角不等式による制約がついてしまった,この制約を取り除くことができれば,この定理から2部グラフ的四角形分割の対角変形の定理を導くことができることがわかる.今後の課題としては,この制約を取り除くこと,さらに,偶三角形分割のN-変形の定理を一般のモノドロミーの場合に解決することである.

在之前的研究中，申请人已经讨论过同一封闭曲面的两个四边形分割是否可以通过一定的局部变形来相互传递。在本研究中，当四边形分割G固定在封闭曲面F上时，结果表明： F的Z_2同调元素（称为循环奇偶性）确定，为了使两个四边形分区通过局部变形而相互移动，循环奇偶性必须相等。另一方面，与四边形划分的循环奇偶性类似，封闭曲面的偶数三角剖分具有从基本群到S_3的同态映射（称为单向性），并且也已知存在两个偶数三角剖分的局部局域化。通过使用变换和移位，可以定义一些使它们相等的东西。在 2003 年的研究中，我们研究了封闭曲面的偶数三角剖分（其中每个顶点的度数为偶数的三角剖分）。然后，他定义了一种称为 N 变形的变形，并证明了“球体上的两个偶数三角形可以通过 N 变形相互转移，如果它们作为三方图的子集的大小相等。”经过一年的研究，我们成功地将这个定理推广到任意闭曲面上有足够多顶点的三色偶三角剖分（即单向明显处）（如果满足的条件就达到了目的。可见定理可以导出。我们未来的工作将是消除这个约束，并求解一般单向情况下偶数三角剖分的 N 变形定理。