拡がった物体に対する非リーマン幾何学的モデルの確立

扩展对象非黎曼几何模型的建立

• 批准号: 10J08248
• 负责人: 谷島 尚宏
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Kobe University (2011-2012)Tokyo University of Science (2010)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2012
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J08248/
• 关键词: 微分幾何学; 非リーマン幾何学; フィンスラー幾何学; 曲面論; 拡がった物体; 連続体力学; 粘弾性体; 非線形力学系; 河口空間; ボゾン変換; 分数階微積分; 位相欠陥; 微分幾何学; 非リーマン幾何学; フィンスラー幾何学; 曲面論; 拡がった物体; 連続体力学; 粘弾性体; 非線形力学系; 河口空間; ボゾン変換; 分数階微積分; 位相欠陥

本年度は、弾性体など連続体に見られる特異点の幾何学的定式化を行った。マイクロポーラー連続体など、偶応力の存在によって応力が非対称になる場合に応力関数及び偶応力関数によって張られる曲面を導入した。それぞれの曲面の曲率を求め、応力と偶応力によって表現したところ、応力の非対称性が偶応力関数曲面の平均曲率の存在と対応付けられることが分かった。この曲率による表現を用いて非対称応力場における破壊条件を議論したところ、モールの応力円の中心や半径の対称応力場からのずれを偶応力関数曲面の平均曲率によって特徴付けられることが分かった。さらに具体的に特異点が存在する場合を考え、その周辺での応力場を幾何学量によって議論した。Edge dislocation、wedge dislocationに対する応力関数と偶応力関数を用い、それぞれの曲面の幾何学量を求めた。その結果、曲率は特異点が存在する領域の近傍のみで値を持ち、応力の非対称性による偶応力の効果は欠陥の周辺に限定されることが明らかになった。さらに、本年度は岩石など粘弾性体のレオロジーについても幾何学的視点に基づく研究を行った。分数階微分の幾何学とレオロジーの熱力学によって一般化された構成則を導出するとともに、具体的に高温下における岩石や結晶の変形実験のデータを基に分数階微分の階数を決定した。また、力学系の幾何学的研究としてロトカ・ボルテラ系など生態系の挙動に対して、常微分方程式系の不変理論(KCC-theoly)を適用し、安定性に関する議論を行った。特に、任意の点における解曲線の摂動に対する収束発散を示す偏差曲率と線形安定性との関係を調べた。その結果、偏差曲率テンソルの符号が捕食系と競争系を分ける指標となることが分かった。

今年，我们实施了在弹性物体等连续体中发现的奇异点的几何公式​​。当应力由于存在而不对称时，引入了应力和巧合函数张紧的表面，例如微极连续体。当通过应力和巧合确定每个表面的曲率并表达时，发现应力不对称对应于重合功能表面的平均曲率的存在。使用这种曲率表达，我们讨论了不对称应力场中的断裂条件，发现应力圆中心的偏差和半径与对称应力场的偏差可以由相同应力功能表面的平均曲率表征。更具体地说，我们考虑了存在奇异性的情况，并根据几何量讨论了周围的应力场。使用应力函数和边缘和楔形位错的重合函数确定每个表面的几何量。结果，揭示了曲率仅在存在奇异性的区域的附近，而由于压力不对称而引起的巧合的影响仅限于缺陷的外围。此外，今年，我们根据几何学的观点进行了研究粘弹体（例如岩石）的流变学研究。得出了由分数差异的几何形状和热力学概括的构成规则，并根据高温下岩石和晶体的变形实验的数据确定了分数差异的顺序。此外，作为机械系统的几何研究，我们将普通微分方程（KCC Theoly）的不变理论应用于生态系统（如Lotka-Voltera System）的行为，并讨论了稳定性。特别是，研究了偏差曲率和线性稳定性之间的关系，这表明在任何点上都有收敛的差异，以使溶液曲线扰动。结果，发现偏差曲率张量的符号是将捕食系统和竞争系统分开的指标。