半空間における弾性波のエネルギー伝播と減衰

半空间弹性波的能量传播和衰减

• 批准号: 13740090
• 负责人: 川下 和日子
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740090/
• 关键词: 弾性表面波; Lax-Phillips式散乱理論; ホイヘンスの原理; 局所エネルギー減衰

3次元半空間における線形の弾性方程式の解のエネルギーの伝播と減衰について調べることを目的としている。弾性波にはP波とS波の二つの異なる内部波が存在し、S波の境界への入射のしかたによりエバネッセン波と呼ばれる表面波が現れる。また、Neumann境界条件の場合には、境界上を伝わるレーリー表面波が生じることが知られている。これら表面波の性質を数学的に捉えるために、半空間の弾性方程式に対し、Lax-Phillips式の散乱理論の枠組みを与えた。Lax-Phillips式の散乱理論ではは波の平行移動を捉えている平行移動表現を構成することが中心となるが、その際に表面波が存在するために従来の観点からだけでは平行移動表現の構成がままならなかった。そこでWilcox式散乱理論とLax-Phillips式の散乱理論の比較からその関係を明らかにすることにより、平行移動表現の構成を行った。その結果、内部波はある意味でのホイヘンスの原理に対応する性質を持っているのに対し表面波についてはこの性質が失われるということがわかった。先だっての研究において、レーリー波の局所エネルギーの時間減衰のオーダーが得られている。これは境界のない3次元空間での局所エネルギーが指数減衰することと比較するとはるかに遅く、ホイヘンスの原理に対応する性質がないことと対応していると思われる。そこで、境界や媒質が摂動された半空間において波全体での局所エネルギーの減衰オーダーを求めた。その結果、そのオーダーはホイヘンスの原理が成り立つ全空間の場合よりも遅く、レーリー波のみの局所エネルギー減衰のオーダーと一致した。局所エネルギー減衰のオーダーを決定するのはレゾルベントの低周波での挙動であるが、半空間の場合には全空間の場合と異なり周波数0のまわりでのレゾルベントの解析性が失われるため、先のような結果となった。一般に地震で観測される表面波は周期が長い低周波のものが中心になっておりその事実と対応した結果であると言える。

本研究的目的是研究三维半空间中线性弹性方程解的能量传播和衰减。内部弹性波有两种不同类型：P 波和 S 波，并且根据 S 波如何入射到边界，会出现称为埃瓦尼森波的表面波。此外，在诺依曼边界条件的情况下，已知会出现在边界上传播的瑞利表面波。为了从数学上理解这些表面波的特性，我们将Lax-Phillips散射理论的框架赋予了半空间弹性方程。在Lax-Phillips散射理论中，主要关注的是构建捕捉波的平行运动的平移表达式，但由于此时存在表面波，因此很难从常规角度构建平行平移表达式的配置。并没有保持不变。因此，通过比较Wilcox散射理论和Lax-Phillips散射理论并阐明它们的关系，我们构建了翻译表达式。结果发现，虽然内波在某种意义上具有符合惠更斯原理的性质，但表面波却失去了这种性质。先前的研究已经获得了瑞利波局部能量的时间衰减的数量级。这比无界三维空间中局部能量的指数衰减要慢得多，并且似乎对应于不存在与惠更斯原理相对应的性质的事实。因此，我们计算了整个波的局部能量在边界或介质受到扰动的半空间中的衰减阶数。结果，顺序比惠更斯原理成立的整个空间的情况慢，并且仅与瑞利波的局部能量衰减顺序匹配。解析器在低频下的行为决定了局部能量衰减的顺序，但在半空间的情况下，与全空间的情况不同，解析器在频率 0 附近的解析性丢失了，所以上面的结果如下。这一结果与地震时通常观测到的面波主要是低频、长周期的事实相对应。