決定論的ビリヤード微分ゲームと放物型境界値問題

确定性台球微分博弈与抛物线边值问题

基本信息

批准号：
09J07428
负责人：
柳青
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究は完全非線形方程式の特異問題を対象として考察する。二つの部分から構成されている。第一部では微分ゲームによる手法で方程式の解の近似を行い、解の特異的性質を調べる。第二部では結晶成長に現れる非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の漸近挙動を考察する。平成22年度では、主に以下のような成果をあげた。微分ゲームに関しては、保存則方程式の解の近似問題も考えた。今までのゲーム理論で扱える方程式は未知関数について単調であるので、方程式の粘性解が連続である場合がほとんどである。未知関数について単調でない方程式には通常の粘性解理論が適用できず、特異問題としてのゲーム理論による近似が大変興味深い問題となる。本年度ではこの様な方程式の代表である保存則方程式に対して空間一次元の場合で離散スキームを試み、初期値が単調減少の場合に不連続な解の近似解を構成した。非強圧的Hamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動についての研究も続けた。昨年度の結果と違い、今回考えたのは空間多次元の初期値問題である。この場合に考える定常問題の境界条件は特異Neumann型である。与えられたHamiltonianから有効領域とその領域での成長速度がどのように決まるかについて明らかにした。結晶成長のステップ源と対応するのはWeak KAM理論のAubry集合であることも分かった。最後に、より一般的なErgodic理論の観点から我々が示した長時間挙動に関する結果を分析し、有効領域の外での長時間挙動についても部分的な結果を与えた。

本研究考虑完全非线性方程的奇异问题。它由两部分组成。在第一部分中，我们将使用微分博弈方法来近似方程的解，并研究解的具体属性。在第二部分中，我们考虑晶体生长中出现的非强制哈密尔顿-雅可比方程解的渐近行为。 2010财年，我们取得了以下主要成果。关于微分博弈，我们还考虑了守恒定律方程的近似解问题。由于传统博弈论可以处理的方程对于未知函数是单调的，因此方程的粘性解在大多数情况下是连续的。普通的粘性解理论不能应用于未知函数的非单调方程，而博弈论逼近作为奇异问题就成为一个非常有趣的问题。今年，我们在一维空间的情况下尝试了此类方程的代表守恒定律方程的离散格式，并构造了初始值单调递减时的间断解的近似解。我们还继续研究非强制哈密尔顿-雅可比方程解的长期行为。与去年的结果不同，这次我们考虑了空间多维初值问题。本例中考虑的平稳问题的边界条件是奇异诺依曼型。我们阐明了如何根据给定的哈密顿量确定有效区域和该区域的增长率。还发现弱KAM理论的Aubry集对应于晶体生长的阶跃源。最后，我们从更一般的遍历理论的角度分析了长期行为的结果，并给出了有效区域之外的长期行为的部分结果。

项目成果

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On the weak comparison principle for elliptic equations of mean curvature type

平均曲率型椭圆方程的弱比较原理

DOI：
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

Large-time asymptotics for a class of non-coercive Hamilton-Jacobi equations appearing in crystal growth

晶体生长中一类非强制Hamilton-Jacobi方程的大时渐近

DOI：
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

A billiard-based game interpretation of the Neumann problem for the curve shortening equation

基于台球的游戏解释曲线缩短方程的诺伊曼问题

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
Adv. Differential Equations 14
影响因子：
0
作者：
Y.Giga;Q.Liu
通讯作者：
Q.Liu

On the game-theoretic approach to motion by curvature with Neumann boundary condition

具有诺依曼边界条件的曲率运动的博弈论方法

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

Fattening and game approximation

育肥和博弈近似

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
0
作者：
LIU;Qing
通讯作者：
Qing

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0.8
作者：
Matsue Kaname;Matsuoka Leo;Ogurisu Osamu;Segawa Etsuo;柳青;Masahiko Shimojo;Ippei Obayashi;Silvia Steila and Keita Yokoyama
通讯作者：
Silvia Steila and Keita Yokoyama