非線形分散型方程式における定在波の安定性解析

非线性色散方程中驻波的稳定性分析

基本信息

批准号：
09J01477
负责人：
菊池弘明
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度の主な研究成果の一つは,赤堀公史氏(愛媛大)と名和範人氏(大阪大)との共同研究の下で行った,非線形シュレディンガー方程式の解の挙動に関するものである.具体的には,ある変分値を用いて特徴付けられる互いに素な集合を2つ導入し,その一つ集合の元を初期値とした解は散乱し,もう一方の集合の元を初期値とした解は有限又は無限時間で爆発することを示した.そして,その系として,基底状態の不安定性を示すことを出来た.非線形項が単純冪の場合は,既にAkahori-Nawa (preprint)において,類似のことが証明されたが,今回はより一般の非線形項を取り扱うことに成功した.もう一つ研究成果は.Fouad Hadj Selem氏(Reims Univ.)とJun-Cheng Wei氏(Chinese Univ.of Hong Kong)との共同で行った,調和ポテンシャルを伴うソボレフ超臨界の非線形項を持つ楕円型方程式の正値解が存在に関するものである.ソボレフ劣臨界のときは,正値解が一意であり,分岐のダイアグラムの形状もHirose-Ohta(2002, 2007)により,よく知られている.しかし,数値計算によると,ソボレ超臨界のときは,分岐のダイアグラムは劇的に変化することが示唆されている.具体的には,正値解の一意性が成立せず,多数存在することが予想されている.この研究では,この現象に対して,厳密な証明を与えることが目標である.そのため,まず大域的な正値解の分岐が存在することを証明した.次に,正値解の多重性を示すためには,得られた分岐解のMorse indexを計算することが重要である.これを計算するのに,分岐解の極限が,原点で特異性を持つ解であることを示し,その特異解のMorse indexを計算することが出来た.それにより,冪乗型非線形項の指数がある範囲の場合には,分岐のパラメータが大きくなると,分岐解のMorse indexは無限大になることが分かった.これらの成果をまとめて,いくつかの研究集会などで講演し,今後の課題を述べた.

今年的主要研究结果之一是关于根据Akahori Koshi（Ehime University）和Nawa Norito（大阪大学）共同研究进行的非线性Schrödinger方程的行为。具体而言，引入了使用变分值来表征的两个解释性集，并以一个集合作为初始值散射的原点的解决方案，而用另一组的原点作为初始值在有限或无限时间爆炸的解决方案。作为一个系统，可以显示基态的不稳定性。就简单的非线性术语而言，在Akahori-Nawa（预印本）中已经被证明相似，但是在这种情况下，我们已经成功处理了更通用的非线性术语。另一个研究结果是：Fouad Hadj Selem（Reims Univ。）和Jun-Cheng与Wei（香港中国大学）合作，这是一种椭圆方程的积极解决方案，具有Sobolev超临界潜力的非线性术语，具有和谐电位与存在的存在有关。在Sobolev的下临界值中，正溶液是独特的，而Hirose-Ohta（2002，2007）也众所周知，分支图的形状也是众所周知的。但是，数值计算表明，当Sobolev的超临界性时，分支图在急剧变化。具体而言，积极解决方案的唯一性是不正确的，预计会有很多。这项研究旨在为此现象提供严格的证明。因此，首先，证明存在全球积极解决方案的分支。接下来，为了显示阳性解的多重性质，即获得的分支解决方案的摩尔斯。计算索引很重要。为了计算这一点，我们表明分支溶液的极限是一种在原点上具有奇异性的溶液，并且我们能够计算奇异溶液的摩尔斯指数。这表明，对于一个可识别的非线性项的指数，如果分支参数增加，则分支解决方案的摩尔斯索引将变得无限。这些结果被总结并在几次研究会议上进行了演讲，并讨论了未来的挑战。