非線形分散型方程式における定在波の安定性解析

非线性色散方程中驻波的稳定性分析

基本信息

批准号：
09J01477
负责人：
菊池弘明
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度の主な研究成果の一つは,赤堀公史氏(愛媛大)と名和範人氏(大阪大)との共同研究の下で行った,非線形シュレディンガー方程式の解の挙動に関するものである.具体的には,ある変分値を用いて特徴付けられる互いに素な集合を2つ導入し,その一つ集合の元を初期値とした解は散乱し,もう一方の集合の元を初期値とした解は有限又は無限時間で爆発することを示した.そして,その系として,基底状態の不安定性を示すことを出来た.非線形項が単純冪の場合は,既にAkahori-Nawa (preprint)において,類似のことが証明されたが,今回はより一般の非線形項を取り扱うことに成功した.もう一つ研究成果は.Fouad Hadj Selem氏(Reims Univ.)とJun-Cheng Wei氏(Chinese Univ.of Hong Kong)との共同で行った,調和ポテンシャルを伴うソボレフ超臨界の非線形項を持つ楕円型方程式の正値解が存在に関するものである.ソボレフ劣臨界のときは,正値解が一意であり,分岐のダイアグラムの形状もHirose-Ohta(2002, 2007)により,よく知られている.しかし,数値計算によると,ソボレ超臨界のときは,分岐のダイアグラムは劇的に変化することが示唆されている.具体的には,正値解の一意性が成立せず,多数存在することが予想されている.この研究では,この現象に対して,厳密な証明を与えることが目標である.そのため,まず大域的な正値解の分岐が存在することを証明した.次に,正値解の多重性を示すためには,得られた分岐解のMorse indexを計算することが重要である.これを計算するのに,分岐解の極限が,原点で特異性を持つ解であることを示し,その特異解のMorse indexを計算することが出来た.それにより,冪乗型非線形項の指数がある範囲の場合には,分岐のパラメータが大きくなると,分岐解のMorse indexは無限大になることが分かった.これらの成果をまとめて,いくつかの研究集会などで講演し,今後の課題を述べた.

今年的主要研究成果之一是关于非线性薛定谔方程解的行为，该研究是与 Kimiji Akahori（爱媛大学）和 Norihito Nawa（大阪大学）合作进行的。具体来说，我们引入了两个不相交集，其特征为一定的变分值，以及结果表明，初始值为一组元素的解会分散，而初始值为另一组元素的解会在有限或无限时间内爆炸。我们能够证明不稳定性。如果非线性项为一个简单的力量，我们已经有了赤堀绳（预印本），也证明了类似的事情，但这次我们成功地处理了更一般的非线性项。Fouad Hadj Selem 先生（兰斯大学）和魏俊成先生（香港中文大学）的研究成果。孔本文研究的是具有谐波势的索博列夫超临界态下带非线性项的椭圆方程正解的存在性。在索博列夫次临界状态下，正解是唯一的，并且分岔图的形状为也类似于广濑太田（2002，然而，数值计算表明，在索博尔超临界状态下，分岔图发生了巨大的变化，预计会出现大量的情况。在这项研究中，目标是为这种现象提供严格的证明。为此，我们首先证明存在全局正确解的分支。接下来，我们要展示所获得的分叉解的重数，莫尔斯计算指数很重要。为了计算这一点，我们证明分叉解的极限是在原点具有奇异性的解，并且我们能够计算该奇异解的莫尔斯指数。发现当幂律型非线性项的指数在一定范围内时，随着分岔参数的增加，分岔解的莫尔斯指数变得无穷大，他在研究会议和其他活动中发表演讲，并讨论了未来的挑战。。