フラクタル上のマルティン境界を通じての調和解析

通过分形马丁边界进行调和分析

基本信息

批准号：
01J09857
负责人：
今井淳
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Kyoto University (2002-2003)Kyushu University (2001)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J09857/
关键词：
語空間の調和解析 Markov連鎖 Martin境界ペンタクン

项目摘要

1996年に,Manfred Denker (Gottingen大学確率論研究所教授)と佐藤坦(九州大学名誉教授)はフラクタル幾何学で最も基本的なSierpinski gasket Sを特徴付ける語空間W_SにMarkov連鎖(X_n)^∞_<n=0>をうまく定義することにより,Sを,そのMartin境界として表現することに成功した.その証明の鍵となったのがW_S上のX_nのMartin核の完全公式を与えたことによるものであった.更に彼等は,MartinやDynkin達によって提唱されたMartin距離をS上に導入することで,木上の調和解析をW_S上の調和解析の枠組で捉えた.そこで,一般のフラクタルについてMartin境界表現が可能であるかが当然出てくる次の問題である.私は一昨年度,典型的なフラクタルの一つとして,ペンタクンPと呼ばれる正五角形から作られる自己相似集合を,Martin境界として表現することに成功した.しかしながらSは三角形,Pは五角形という,幾何学的には両者の構造の違いはあまり見えないにも関わらず,両者をp.c.f.自己相似集合として捉えた際の臨界点,及び推移確率のpath(道)が織り成すgraph構造が全く異っていた為,そこで得られた結果は実用性が高いとは言い難かった.そこで(*)P上の推移確率のpathのgraph構造の「複雑さ」の要因,特にS上のそれとの違いを追求する.を目標として,本研究を開始した.本年度に行った研究は,概ね以下の2つにまとめることが出来る.1.R^2に埋め込まれた自己相似N(N【greater than or equal】3)角形F(N)の(S=F(3),P=F(5)),言葉の空間及び文字の無限列全体に定義されるべき同値関係「〜」の構造を,再度点検整備し,Denkerが提唱したSの上の(重みを伴った)距離DがF(N)の上にも実現されるかどうかを調べた.特に,それが実現される為の必要十分条件を重みを使って具体的に記述した.更に,通常のEuclid距離とのLipschitz同値性についても言及した.この目的は,Dの解析自体に,やはり上記で述べた文字列のpathのgraph構造を考察する必要がある為,(*)に対するヒントが,何か隠されてはいないかと期待していたからである.現在論文を執筆中である.2.更に1での研究及び得られた結果を別の立場から眺めるという目的で,Koch (Gottingen大学確率論研究所,助教授)を招聘し,人間・環境学研究科の客員教授Denkerと共にMartin境界表現に依るS上の調和解析について討論し,更に一般のtree(樹木)のMartin境界表現に於けるDirichlet形式の定式化についての研究打ち合せを行った.これについても共著論文を現在執筆中である.

1996年，Manfred Denker（哥廷根大学概率论研究所教授）和Tan Sato（九州大学名誉教授）开发了Sierpinski垫片，这是分形几何中最基本的元素。通过在表征S的词空间W_S中成功定义马尔可夫链(X_n)^∞_<n=0>，我们成功地将S表示为它的马丁边界。证明的关键是这是因为他们给出了完整的公式对于 W_S 上 X_n 的 Martin 内核。通过将 , 提出的 Martin 距离引入到 S 上，我们在 W_S 调和分析的框架下掌握了树的调和分析。那么，我们自然会问一般分形是否可以用 Martin 边界表示。这是下一个问题。几年前，我研究了一种名为 Pentaquon P 的典型分形，它是由正五边形组成的独立结构。我们成功地将自相似集表示为马丁边界。然而，虽然S是三角形，P是五边形，虽然从几何角度来看它们的结构没有太大区别，但它们可以表示为p.c.f。 - 相似的集合，因为由临界点和转移概率的路径编织而成的图结构为得到的结果不能说是高度实用的。因此，我们的目标是（*）追求P上转移概率路径的图结构的“复杂性”因素，特别是与S上的差异。我们开始了这项研究。今年的研究大致可以分为以下两个部分：1.自相似N(N[更大。比或等于】3) 重新构建在平方F的整个单词空间和无限字符串（S=F(3), P=F(5)）上定义的等价关系“~”的结构我对其进行了检查和维护，并研究了Denker提出的S上的距离D（带权重）是否也在F(N)上实现。特别是，我研究了它实现的充分必要条件。使用权重进行具体描述。此外，通常的Eu我还提到了与clid距离的Lipschitz等价。这样做的目的是考虑上面提到的字符串路径的图结构来分析D本身，那么我目前正在写一篇论文，那么（*）的提示是什么？ 2.为了查看1中获得的研究和结果。（哥廷根大学概率论研究所助理教授）与人类与环境研究学院客座教授 Denker 讨论了使用 Martin 边界表示对 S 进行调和分析，并进一步讨论了一般树的 Martin 边界表示。关于狄利克雷格式制定的研究会议。我们目前也正在共同撰写一篇关于该主题的论文。