代数多様体の数論幾何とL関数の特殊値に関する研究

代数簇的算术几何和L函数的特殊值研究

基本信息

批准号：
01J06068
负责人：
伊藤哲史
金额：
$ 1.92万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

私の研究の目標は,局所体上の多様体のコホモロジーから定まるガロワ表現の性質を調べることである.特に,ガロワ表現に関する重要な予想であるウェイト・モノドロミー予想に取り組んできた.これは,ガロワ表現に定義されたウェイト・フィルトレーションとモノドロミー・フィルトレーションが次数のずれを除いて一致するという予想であり,幾何学的にも数論的にも重要なものである.昨年度までの研究において,私は,ドリンフェルト上半空間によるp進一意化を持つ多様体に対してこの予想を証明することができた.そこで,今年度は,まずドリンフェルト上半空間やその被覆空間の幾何学の詳細な研究を行った.そして,ドリンフェルト上半空間上に構成されたアーベル多様体の族の幾何学的な様子を詳しく調べることで,p進一意化を持つ多様体の係数付きコホモロジーに対するウェイト・モノドロミー予想が,定数係数の場合とほぼ同様に扱えることが分かった.また,これ以外にも,一般の多様体のコホモロジーの研究を行い,モノドロミーが極大巾単の場合や,ウェイト・フィルトレーションの長さが最大のときに,ウェイト・モノドロミー予想を示すことができた.この結果に,シュナイダーとシュトゥーラーによるドリンフェルト上半空間のコホモロジーの計算結果を組み合わせることで,p進一意化を持つ多様体に対するウェイト・モノドロミー予想の別証明が得られた.また,数論幾何においては,志村多様体と呼ばれる種類の多様体のコホモロジーを研究することが極めて重要であるが,この結果をある種の志村多様体に適用することで,保型形式とガロワ表現の深い関係を表すラングランズ対応への応用も得られると期待される.

我的研究目标是研究由局部域上的流形上同调确定的伽罗瓦表示的性质。特别是，我一直在研究权单性猜想，这是关于伽罗瓦表示的一个重要猜想。表示中定义的权重过滤和单性过滤除了顺序不同之外都是匹配的，从几何和数论的角度来看都很重要。在我去年的研究中，我已经能够通过Drinfeldt上半空间证明p进统一流形的这个猜想。因此，今年，我首先对Drinfeldt上半空间进行了详细的研究。我们还研究了在Drinfeldt上半空间上构造的阿贝尔簇族的几何形状，发现它具有流形系数的p进同态。发现G的权单向猜想可以用与常数系数的情况几乎相同的方式处理。除此之外，我们还研究了一般流形的上同调，并研究了单向最大简单的情况，以及重量单向猜想。・当过滤长度最大时，我们能够证明重量单向猜想。该结果得到了 Schneider 和 Stuhler 的 Drinfeldt 上半空间的共构的支持。通过结合形态学的计算结果，我们得到了p进统一流形的权单调猜想的另一个证明。另外，在算术几何中，我们证明了一种称为Shimura流形的流形的上同调性，尽管它极其重要。为了研究这一点，预计通过将这些结果应用于某些类型的 Shimura 流形，也将有可能获得对表达自同构形式和伽罗瓦表示之间深层关系的朗兰兹对应关系的应用。