開代数曲面とその応用

开代数曲面及其应用

• 批准号: 01J00804
• 负责人: 岸本 崇
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J00804/
• 关键词: C^2-fibration; Nagata automorphism; Sarkisov Program; elementary link; exotic C^3; characterization of C^3

私が今年度,取り組んだ研究の中で主なものは次に述べる3つである:1.3次元Abhyankar-Sathaye埋め込み問題,2.Nagata同型から定まるIP3のCremona変換のelementary linkへの具体的な分解の記述,3.3次元Zariski消去問題への双有理幾何学的アプローチ.以下で上記,1,2,3に関する成果を述べる:(1)問題1は次の様に述べられる:問題:g∈C[x, y, z]を既約多項式で,それが定義する超曲面(g=0)=C^3(x, y, z)がaffine plane C^2に同型ならばgはC[x, y, z]の変数になるか?私はこの問題にコンパクト化を取った後に双有理幾何学的手法を用いることによって2つの部分的肯定的結果を得た:(2)2についてNagata同型と呼ばれる,C^3の自己同型は約30年程前から有名であるが,いまだもってその権威,例えばNagata同型がfameか否かは知られていない。今回,私はNagata同型から自然に定まるIP^3のCremona変換をSarkisov Programという双有理幾何学的手法を用いることによって,elementary linkの合成として具体的に分解する事に成功した。2次元の場合がそうであった様に,この今回の具体的な分解はNagata同型がfameか否かを判定するのみならず,新たな複雑な自己同型を構成する為にも重要であると考えている。(3)3の問題は次の様に述べられる:問題:Xを3次元アフィン代数多様体でX×C〓C^4が成立しているとする。この時,Xは3次元アフィン空間C^3に同型であるか?この問題には現在迄に様々な研究者が理論的・アフィン代数幾何学的手法を用いて,様々な研究がなされてきたが,未解決である。今回,私はこの問題をアフィン代数幾何学の範疇で考えるのではなく,一旦,コンパクト化をとり,3次元極小モデル理論を用いることによって考察した。より正確に述べると,私はある種の位相的に可縮な3次元アフィン代数多様体のコンパクト化を分類し,その分類の束として,上の問題に対しての新たな部分的結果を得た。

我今年的主要研究内容如下：1. 3维Abhyankar-Sathaye嵌入问题，2. 由Nagata同构确定的IP3的Cremona变换具体分解为初等链接的描述，3. 一种双有理几何。下面，我们描述关于上述 1、2 和 3 的结果： (1) 问题 1 表述如下： 问题：g∈C[ x, y, z] 是不可约多项式，其定义的超曲面 (g=0)=C^3(x, y, z) 同构于仿射平面 C^2，则 g 为 C[x, y, z]？对这个问题进行紧致化后，我用双有理几何方法得到了两个部分肯定的结果：（2）称为2的永田同构，C^3自同构已经出名了大约30年，但是它的权威性，例如，永田同构是否有名，目前还不得而知。这次，我成功地使用称为萨尔基索夫程序的双有理几何方法，将由永田同构自然确定的 IP^3 的克雷莫纳变换具体分解为初等连杆的组合。与二维情况一样，这种特定的分解不仅对于确定永田同构是否著名很重要，而且对于构造新的复杂自同构也很重要。 (3) 问题3可表述如下： 问题：设X为三维仿射代数簇，且X×C〓C^4成立。那么，X是否同构于三维仿射空间C^3？许多研究者利用理论和仿射代数几何方法对这个问题进行了各种研究，但仍然没有解决。这次我没有把这个问题放在仿射代数几何的范畴里考虑，而是先采取紧致化，用三维最小模型理论来考虑。更准确地说，我对一些拓扑可收缩的三维仿射代数簇的紧化进行了分类，并且作为分类的集合，我获得了上述问题的新的部分结果。

项目成果

Takashi KISHIMOTO: "Abhyankar-Sathaye Embedding Problem in dimension three"Journal of Mathematics of Kyoto University. (to appear).

Takashi KISHIMOTO：“第三维中的 Abhyankar-Sathaye 嵌入问题”京都大学数学杂志。

Takashi KISHIMOTO: "Projective plane curves whose complements have logarithmic Kodaira dimension one"Japanese Journal of Mathematics. 27. 275-310 (2001)

Takashi KISHIMOTO：“其补集具有对数小平维一的投影平面曲线”日本数学杂志。

Takashi KISHIMOTO: "A New proof of a theorem of Ramanujam-Morrow"Journal of Mathematics of Kyoto University. 42. 117-139 (2002)

Takashi KISHIMOTO：“Ramanujam-Morrow 定理的新证明”京都大学数学杂志。