半単純Lie群のWhittaker関数及び、その整数論的な応用

半单李群的Whittaker函数及其数论应用

• 批准号: 08J08286
• 负责人: 宮崎 直
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J08286/
• 关键词: Whittaker関数; 保型形式; Whittaker関数; 保型形式

この研究の主な対象はWhittaker関数と呼ばれる保型形式をFourier展開した際に現れる代表的な球関数である.この関数の明示式を得る事と,その保型L関数等への応用を調べる事を目的に本年度は以下の2つの研究を行った.まず,1つ目はGL(3)×GL(2)の実素点での局所ゼータ積分の評価に関する研究である.ゼータ積分とは大域的Whittaker関数のある種の積分変換であり,保型L関数と正則関数の積と一致するものである.今回の研究では既に知られているGL(3,R)とGL(2,R)上のWhittaker関数の明示式を用いて,局所ゼータ積分の計算を行った.その結果,任意のGL(3,R)とGL(2,R)のWhittaker関数を持つ既約許容表現達に対して,局所ゼータ積分が保型L関数の局所因子と一致するようなWhittaker関数の組が存在する事を証明する事ができた.これによって,GL(3)×GL(2)については総実体上の場合,ゼータ積分を保型L関数の積分表示と見なせるようになる.この結果が特殊値などの保型L関数のより深い性質の研究に応用できる事を期待している.2つ目はSp(2,C)の主系列表現の極小K-タイプにおけるWhittaker関数の明示式に関する研究である.Sp(2,R)については様々な既約許容表現に関するWhittaker関数の明示式が知られているが,Sp(2,C)の場合はそのK-タイプの複雑さのせいか,まったく調べられていなかった.まず極小K-タイプの扱いやすい基底を構成し,それを使ってWhittaker関数を特徴付ける微分方程式を立式した.さらに最高ウェイトベクトルに対応するWhittaker関数に関しては,実際に微分方程式を解き,明示式を得る事ができた.

这项研究的主要主题是一种代表性的球函数，当傅立叶扩展了称为惠特克函数的防腐剂形式时，它会出现。今年，我们在今年进行了两项研究，以获得该功能的明确方程，并研究了其在防腐剂l功能等方面的应用。首先，第一个是对GL（3）x GL（2）的真实点的局部Zeta积分进行评估。 Zeta积分是全局Whittaker函数的一种积分转换。是的，它与封闭的L函数和常规功能的乘积相吻合。在这项研究中，我们使用了惠特克在GL（3，R）和GL（2，R）上的明确表达，这些表达式已经知道，以计算局部Zeta积分。结果，对于具有任意GL（3，R）和GL（2，R）的不可约公差表达式，有一组Whittaker函数，其中局部Zeta积分与封闭的L函数的局部因子匹配。这使我们可以证明，对于GL（3）×GL（2），Zeta积分可以视为在总实体的情况下，可以将Zeta积分视为L型函数的积分表示。我们希望该结果可以应用于诸如特殊值之类的L型函数的更深型性能。第二个是对SP（2，C）主序列表示的最小k型中惠特克函数的显式表达的研究。对于SP（2，r），各种不可约的公差表已知当前的惠特克函数的明确表达，但在SP（2，C）的情况下，也许是由于K型的复杂性，尚未对其进行研究。首先，我们为最小值K型构建可管理的基础，并使用它形成一个特征惠特克函数的微分方程。此外，对于对应于最高权重矢量的惠特克函数，我们实际上可以求解微分方程并获得显式方程。