余接束による代数多様体の研究

用余切丛研究代数簇

• 批准号: 08F08320
• 负责人: 宮岡 洋一
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08F08320/
• 关键词: 代数多様体; 余接束; 余接写像; Fano曲面; 鏡映群; 楕円曲線; Fermat 3次超曲面; 種数2; Klein 3次超曲面; 一般型代数曲面; 射影束; ファノ曲面

余接束を用いて代数多様体の幾何構造を調べるという方法は、1970年代以来研究代表者が一貫して追求して来たテーマであるが,分担者Roulleauは独自のアイデアを導入して上記の方法を具体的な素材に適用し,古典的な研究対象に対する新たな研究方法を発展させつつある。来日以来,同人が主要テーマとして取り組んできたのは,きわめて具体的な問題である。非特異な3次元3次超曲面F上の直線の全体は,Fano曲面Sをパラメータ空間に持ち,対応する直線の普遍族XはSの余接束の射影化と同一視される。自然な射影f : X→Fは次数6の全射であることが古典的に知られていたが,この写像は本県有テーマである余接束の大域切断が定める余接写像に他ならない。Roulleauはfが有限写像でない場合,fによって、点に写されるF上の曲線を,斬新なアイデアを導入することによって、完全に分類した。そのアイデアとは,fが曲線Eを一点f(E)に写せば,Eは非特異楕円曲線で,Eに対して位数2のSの自分同型(鏡映)が自然に定まることに着目したことにある。このような鏡映が生成する有限群Gを解析すると,問題の曲線の個数は0,1,3,4,6,10,12,30のいずれかであることが不される。30個の場合,有限群の位数が9720でFがFemat3次超曲面であることもわかる。22年度は上記楕円曲線に関する結果をさらに複雑な種数2の曲線の配置に拡張して,学術論文2篇を出版した。

使用余切丛研究代数簇的几何结构的方法一直是该研究的主要研究者自 20 世纪 70 年代以来一直追求的主题，但该研究的合著者 Roulleau 将自己的原创想法引入了上述内容。这种方法针对具体材料，我们正在针对经典研究对象开发新的研究方法。自从来到日本以来，同人志一直以解决非常具体的问题为主题。非奇三维三次超曲面 F 上的整组直线在参数空间中具有法诺曲面 S，相应的万能直线族 X 通过 S 的余切丛的投影来识别。自然投影f：传统上认为X→F是6次满射，但这个映射只不过是由余切丛的全局割定义的余切映射，这是我们县的主题。通过引入一种新颖的思想，当f不是有限映射时，卢洛将F上由f映射到点的曲线完全分类。这个想法是关注这样一个事实：如果 f 将曲线 E 映射到点 f(E)，则 E 是非奇异椭圆曲线，并且 2 阶 S 的自同构（反射）自然确定为 E。我做了什么。当我们分析由此类反射生成的有限群 G 时，我们发现所讨论的曲线数量为 0、1、3、4、6、10、12 或 30。在30的情况下，我们还可以看到有限群的阶数为9720，F是Femat立方超曲面。 2012年，我们发表了两篇学术论文，将上述关于椭圆曲线的结果推广到更复杂的属2曲线排列。

项目成果

The Fano surface of the Klein cubic threefold

• DOI: 10.1215/kjm/1248983032
• 发表时间: 2010-01
• 期刊: Journal of Mathematics of Kyoto University
• 作者: X. Roulleau

The Fano surface of the Fermat cubic threefold, the del Pezzo surface of degree 5 and a ball quotient

费马三次方的 Fano 曲面、5 次 del Pezzo 曲面和球商

• 发表时间: 2011
• 期刊: Proc.Amer.Math.Soc.
• 作者: Miho Ohta;Masafumi Moriyama;Takashi Maehara. et al.;Ohta M;Furukawa S;Moriyama M;Moriyama M;X.Roulleau
• 通讯作者: X.Roulleau

Elliptic curve configurations on Fano surfaces

Fano 曲面上的椭圆曲线配置

• 发表时间: 2009
• 期刊: Manuscripta Mathematica 129
• 作者: Miho Ohta;Masafumi Moriyama;Takashi Maehara. et al.;Ohta M;Furukawa S;Moriyama M;Moriyama M;X.Roulleau;X.Roulleau;X.Roulleau
• 通讯作者: X.Roulleau

Genus 2 curve configurations on Fano surfaces

Fano 曲面上的 Genus 2 曲线配置

• 发表时间: 2010
• 期刊: Comment.Math.Univ.St.Pauli
• 作者: Miho Ohta;Masafumi Moriyama;Takashi Maehara. et al.;Ohta M;Furukawa S;Moriyama M;Moriyama M;X.Roulleau;X.Roulleau
• 通讯作者: X.Roulleau