変分法を用いた非線形シュレディンガー方程式の定在波の安定性解析

非线性薛定谔方程驻波的变分法稳定性分析

• 批准号: 07J04235
• 负责人: 菊池 弘明
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07J04235/
• 关键词: 定在波; Klein-Gordon-Schrodinser system; 安定性; 変分法; 式系; 安在波; 基底状態

核子場と中間子場との相互作用を記述する方程式系であるクライン・ゴルトン・シュレディンガー方程式系およびそれに関連する方程式系の定在波の存在と軌道安定性に関する研究を行った.ここで,定在波とは,時間に関しては位相の周期的な変動しか依存しない解のことであり,定在波が安定であるというのは,定在波に少し摂動を加えて時間発展させても,定在波に近い状態にあり続けることであり,そうでないときは不安定であるという,具体的には,以下の研究を行った.1.空間1次元において,wave-Schrodinger方程式系の定在波が存在することを変分法を用いて証明した.これまでのKlein-Gordon-Schrodinger方程式系の女定性において,振動数が大きいときはwave-Schrodinger方程式系に帰着させることが証明の鍵であった.しかし,空間1次元のときは,wave-Schroidnger方程式系の定在波が存在することを証明するのは技術的な問題が生じる.その技術的な問題とは,空間1次元のときは,それまで考えてきた関数空間において対応する汎関数が意味を持だないことである.そこで私は,具体的に近似解を構成し,その極限が求めたい解であることを証明した.2空間2次元において,Klein-Gorodn-Schrodinger方程式系の定在波は振動数が十分小さいときは安定であることを証明した.散乱などの問題については空間2次元のKlein-Gordon-Schrodinger方程式系は幾つかの結果があるが,定在波の安定性についてはそれまであまり解析されてこなかった.これまでは振動数が十分小さいときは,3次の非線形項をもつ単独のSchrodinger方程式に帰着させることで安定性を解析してきた.しかし,3次の非線形項というのは,2次元のときは臨界の指数となるため,他の次元のように通常の摂動法が適用出来ない.そこで,私は振動数が十分小さいときには,基底状態の一意性や線形化作用素の非退化性などを証明することに成功し,このことを利用してGrillakis,Shatah,and Strauss(1987)が与えた安定であることの十分条件を確かめることが出来,上記の結果を得ることが出来た.

我们对克莱因-高尔顿-薛定谔方程组的驻波存在性和轨道稳定性进行了研究，克莱因-高尔顿-薛定谔方程组是描述核子场和介子场相互作用的方程组，相关方程组A波为。其相位在时间上呈周期性的波。这是仅依赖于波动的解，即使对驻波添加轻微的扰动并随着时间的推移而演变，如果驻波持续处于接近驻波的状态，则驻波是稳定的。以下研究： 1. 空间在一维中，我们用变分法证明了波-薛定谔方程组的驻波的存在。在克莱因-戈登-薛定谔方程组的女性决定论中，当频率较大时，波-Sc证明的关键是将其简化为赫罗丁格方程组，但是，当空间是一维时，证明波-薛定谔方程组的驻波存在存在一个技术问题，该技术问题是一维的。维度空间在某些情况下，对应的泛函在我们一直考虑的函数空间中是没有意义的。因此，我专门构造了一个近似解，并证明了它的极限就是我想要找到的解。2在二维空间中，克莱因-。戈罗德施罗证明了当频率足够小时，丁格方程组的驻波是稳定的。对于散射等问题，二维的克莱因-戈登-薛定谔方程组有一些结果，但它是不稳定的。至于波浪的稳定性，到目前为止，还没有对其进行太多分析。直到现在，当频率足够小时，通过将其简化为具有三阶非线性项的单个薛定谔方程来分析稳定性，这是因为在二维中，临界指数。因此，普通的扰动方法不能像在其他维度中那样应用，因此，当频率足够小时，我成功地证明了基态的唯一性和线性化算子的非简并性，Grillakis，Shatah，和我们能够证实Strauss(1987)给出的稳定性的充分条件并得到上述结果。

项目成果

Instability of standing waves for the Klein-Gordon-Schrodinger system

克莱因-戈登-薛定谔系统驻波的不稳定性

• 发表时间: 2008
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal 37
• 作者: N. Sogawa;T. Kusakari;T. Netsu;M. Yamasaki;K. Takano;Jun Kawabe;Kazuhiko Takano;Hiroaki Kikuchi and Masahito Ohta
• 通讯作者: Hiroaki Kikuchi and Masahito Ohta

Klein-Gordon-Schrodinger 方程式系の半自明な定在波の安定性について

克莱因-戈登-薛定谔方程组中半平凡驻波的稳定性

• 发表时间: 2008
• 作者: 菊池弘明;太田雅人;菊池 弘明;菊池 弘明;菊池弘明
• 通讯作者: 菊池弘明

Klein-Gordorn-Schrodinger方程式系の定在波の安定性について

克莱因-戈登-薛定谔方程组中驻波的稳定性

• 发表时间: 2008
• 作者: 菊池弘明;太田雅人;菊池 弘明;菊池 弘明;菊池弘明;菊池 弘明
• 通讯作者: 菊池 弘明