変分法を用いた非線形シュレディンガー方程式の定在波の安定性解析

非线性薛定谔方程驻波的变分法稳定性分析

• 批准号: 07J04235
• 负责人: 菊池 弘明
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07J04235/
• 关键词: 定在波; Klein-Gordon-Schrodinser system; 安定性; 変分法; 式系; 安在波; 基底状態

核子場と中間子場との相互作用を記述する方程式系であるクライン・ゴルトン・シュレディンガー方程式系およびそれに関連する方程式系の定在波の存在と軌道安定性に関する研究を行った.ここで,定在波とは,時間に関しては位相の周期的な変動しか依存しない解のことであり,定在波が安定であるというのは,定在波に少し摂動を加えて時間発展させても,定在波に近い状態にあり続けることであり,そうでないときは不安定であるという,具体的には,以下の研究を行った.1.空間1次元において,wave-Schrodinger方程式系の定在波が存在することを変分法を用いて証明した.これまでのKlein-Gordon-Schrodinger方程式系の女定性において,振動数が大きいときはwave-Schrodinger方程式系に帰着させることが証明の鍵であった.しかし,空間1次元のときは,wave-Schroidnger方程式系の定在波が存在することを証明するのは技術的な問題が生じる.その技術的な問題とは,空間1次元のときは,それまで考えてきた関数空間において対応する汎関数が意味を持だないことである.そこで私は,具体的に近似解を構成し,その極限が求めたい解であることを証明した.2空間2次元において,Klein-Gorodn-Schrodinger方程式系の定在波は振動数が十分小さいときは安定であることを証明した.散乱などの問題については空間2次元のKlein-Gordon-Schrodinger方程式系は幾つかの結果があるが,定在波の安定性についてはそれまであまり解析されてこなかった.これまでは振動数が十分小さいときは,3次の非線形項をもつ単独のSchrodinger方程式に帰着させることで安定性を解析してきた.しかし,3次の非線形項というのは,2次元のときは臨界の指数となるため,他の次元のように通常の摂動法が適用出来ない.そこで,私は振動数が十分小さいときには,基底状態の一意性や線形化作用素の非退化性などを証明することに成功し,このことを利用してGrillakis,Shatah,and Strauss(1987)が与えた安定であることの十分条件を確かめることが出来,上記の結果を得ることが出来た.

我们已经研究了klein-galton-Galton-Schrodinger方程系统中驻波的存在和轨道稳定性，该系统描述了核子场与梅森场之间的相互作用以及方程相关系统。在这里，直立波是仅取决于时间上周期性变化的解决方案，而站立波是稳定的，即使站立波是通过对驻波施加轻微的扰动而发展的，它们也保持在接近驻波的状态，当它们不在现场时，它们是不稳定的。具体来说，我们进行了以下研究：1。空间。我们已经证明，使用变异方法，波浪形成方程系统的站立波在一个维度中存在。在迄今为止，在klein-gordon-schrodinger方程系统的女性定性性质中，证明的关键是在频率较大时重新提交到波浪形的方程式系统。但是，当空间一个维度位于空间中时，从技术上讲，要证明存在波形雪橇方程系统的站立波是一个问题。这个技术问题是空间一个维度是因为我们以前认为的功能空间中的相应功能没有意义。因此，我专门构建了一个近似解决方案，并证明了极限是我们想要找到的解决方案。在两个空间2D中，我已经证明，当频率足够小时，克莱恩 - 戈登 - 雪松剂方程系统中的站立波是稳定的。对于诸如散射等问题，在空间二维空间中的klein-gordon-Schrodinger方程系统有几个结果，但是对于直立波的稳定性，到目前为止，当频率足够小时，通过与三级非线性期限安排单个Schrodinger方程来分析稳定性。但是，由于当频率足够小时，三阶非线性项是关键指数，因此不能像其他维度那样应用正常的扰动方法。因此，当频率足够小时，我成功地证明了基态的独特性和线性化操作员的非排定性质，并将其用于Grillakis，Shatah，我们能够确认Strauss（1987）给出的足够的稳定性条件，我们能够获得上述结果。

项目成果

Instability of standing waves for the Klein-Gordon-Schrodinger system

克莱因-戈登-薛定谔系统驻波的不稳定性

• 发表时间: 2008
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal 37
• 作者: N. Sogawa;T. Kusakari;T. Netsu;M. Yamasaki;K. Takano;Jun Kawabe;Kazuhiko Takano;Hiroaki Kikuchi and Masahito Ohta
• 通讯作者: Hiroaki Kikuchi and Masahito Ohta

Klein-Gordon-Schrodinger 方程式系の半自明な定在波の安定性について

克莱因-戈登-薛定谔方程组中半平凡驻波的稳定性

• 发表时间: 2008
• 作者: 菊池弘明;太田雅人;菊池 弘明;菊池 弘明;菊池弘明
• 通讯作者: 菊池弘明

Klein-Gordorn-Schrodinger方程式系の定在波の安定性について

克莱因-戈登-薛定谔方程组中驻波的稳定性

• 发表时间: 2008
• 作者: 菊池弘明;太田雅人;菊池 弘明;菊池 弘明;菊池弘明;菊池 弘明
• 通讯作者: 菊池 弘明