計量と両立する接続の幾何学とアフィン超曲面論について

与度量和仿射超曲面理论兼容的连接几何

• 批准号: 07740080
• 负责人: 黒瀬 俊
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Fukuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740080/
• 关键词: 統性多様体; 一般化された共形変形; 幾何的ダイヴァージェンス

多様体上の捩れをもたない接続∇と非退化な計量hが両立するとは、∇hが対称なテンソルとなることである。両立する接続と計量をもつ多様体を統性多様体という。前年度までの成果をふまえ、統性多様体の幾何について今年度は特に統性多様体のα-共形変形に着目し、次のように研究を推し進めた。・通常のリーマン多様体における共形変形と射影変形、および上に述べた統性多様体のα-共形変形を特殊な場合として含む「一般化された共形変形」を定義し、その幾何学的な性質を調べた。特に、この一般化された共形変形によって不変に保たれるテンソルについて調べ、(接続に関して)平坦な統性多様体に変形されるための必要条件を与えた。さらに、この不変テンソルの代数的な特徴付けについて研究した。・上に述べた一般化された共形変形は東北大学・松添博氏によっても(1,-1)-共形変形という名で独立に研究されており、一般化された共形変形に関して平坦な統性多様体上の、距離関数の二乗によく似た性質をもつ二点関数(幾何的ダイヴァージェンスという)が定められた。我々は松添氏の結果をふまえて、この幾何的ダイヴァージェンスを統性多様体の内的な量を係数とする微分方程式の解として特徴付けることによって、その詳しい性質を調べた。また以上の研究とは別個に、3次元ユークリッド空間内の負の定曲率曲面の具体的な例について研究し、曲面として実現可能なポアンカレ円盤の領域およびそのチェビシェフ網について詳しく調べた。

如果 ∇h 是对称张量，则流形上的无扭转连接 ∇ 与非简并度量 h 是兼容的。具有兼容连接和度量的品种称为统计品种。在去年取得的成果的基础上，今年我们重点关注系统发育变异的几何形状，特别是系统发育变异的α-共形变形，并进行了以下研究。・定义一个“广义共形变形”，其中包括普通黎曼簇的共形变形和射影变形，以及作为特例的上述系统簇的α-共形变形，并研究了其几何性质。特别是，我们研究了通过这种广义共形变形保持不变的张量，并给出了将其变形为平坦（就连通性而言）系统流形的必要条件。此外，我们研究了这个不变张量的代数表征。・上述广义共形变形是由东北大学的Hiroshi Matsuzoe独立研究的，名为(1,-1)-共形变形，据说广义共形变形是平坦的两点函数（称为几何。散度）在具有类似于距离函数平方的性质的系统品种上被确定。基于松添的结果，我们通过将其表征为微分方程的解来研究这种几何散度的详细性质，该微分方程的系数是系统变化的内部量。除了上述研究之外，我们还研究了三维欧几里得空间中恒定负曲率曲面的具体例子，并详细研究了可以实现为曲面的庞加莱圆盘区域及其切比雪夫网络。