変分法を用いた非線形楕円型方程式の解の形状および漸近挙動の研究

用变分法研究非线性椭圆方程解的形状和渐近行为

• 批准号: 07J00685
• 负责人: 渡辺 達也
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07J00685/
• 关键词: 非線形楕円型方程式; 変分法; 非斉次方程式; 四階楕円型方程式; ボルテクス; 漸近的に線形な非線形項

1・非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の研究空間次元が3以上の全領域において、非斉次項を持つ非線形楕円型方程式を研究し、正値解の多重存在について考察した。非斉次項を持つ非線形楕円型方程式の場合、変分構造が斉次の時と比べて大きく変化する。既存の結果では非線形項に凸性もしくは何らかの単調性を課し正値解の多重存在を得ていた。特に非線形項の凸性を用いると解の非退化性が分り、それを用いて方程式を書き換えることで、高度なエネルギー評価を必要とせずに解の存在が得られる。本研究ではエネルギー汎関数の形状に注目し、一般の非線形項に対して解の多重存在を得た。非線形項の凸性、単調性を外すことにより、生物モデルに現れるFitzHugh-Nagumo型の非線形項にも適用できることが特色となっている。当研究論文は現在投稿中である。また、国内外で口頭発表を行ったところ、様々な研究者から好感触を得た。2・四階非線形楕円型方程式の研究空間次元5以上の全領域において、デルタ関数を外力項に持つ四階非線形楕円型方程式を研究し、正値解の存在及び減衰評価などを考察した。本研究は微分幾何学に現れるPaneitz-Branson operatorと深い関連があり、今後更なる発展が望まれる内容である。四階楕円型方程式の場合、最大値原理が一般に崩れるため、解の正値性や減衰評価を得ることは容易でない。本研究では基本解の評価をうまく用いることでこの困難さを克服した。本研究は東北大学の佐藤得志氏との共同研究であり、近日中の論文投稿を目指している。

1.非齐次项非线性椭圆方程的研究我们研究了空间维数为3及以上的所有区域的非齐次项非线性椭圆方程，并考虑了多个正确解的存在性。在具有非齐次项的非线性椭圆方程的情况下，与齐次相比，变分结构发生显着变化。现有结果中，对非线性项施加凸性或某种单调性，从而得到多个正确解的存在性。特别是，通过利用非线性项的凸性，我们可以找出解的非简并性，并利用它重写方程，我们可以在不需要复杂的能量评估的情况下获得解的存在性。在这项研究中，我们关注能量泛函的形状并获得了一般非线性项的多个解的存在性。通过消除非线性项的凸性和单调性，该方法可以应用于生物模型中出现的FitzHugh-Nagumo型非线性项。该研究论文目前正在提交中。此外，当我们在国内和国际上进行口头报告时，我们收到了各个研究人员的积极反馈。二阶和四阶非线性椭圆方程研究我们研究了空间维度为5或更高的所有区域中以δ函数为外力项的四阶非线性椭圆方程，并考虑了正确解的存在性和阻尼评估。这项研究与微分几何中出现的Paneitz-Branson算子密切相关，希望未来能得到进一步发展。在四阶椭圆方程的情况下，最大值原理一般都失效，因此不容易获得阻尼求解和评估的正确性。在本研究中，我们通过有效地使用基本解决方案的评估来克服这个困难。这项研究是与东北大学佐藤德志的联合研究，我们的目标是尽快提交论文。

项目成果

Radial solutions with a vortex to an asymptotically linear elliptic equation

渐近线性椭圆方程的涡旋径向解

• 发表时间: 2008
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Two positive solutions for an inhomogeneous scalar field equation

非齐次标量场方程的两个正解

• 发表时间: 2008
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Singular positive solutions for a fourth order elliptic problem in R^N

R^N 中四阶椭圆问题的奇异正解

• 发表时间: 2009
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也

Radial solutions with a vortex to an asymptotically linear elliptic eauation

带有涡旋的径向解到渐近线性椭圆方程

• 发表时间: 2007
• 作者: Hiramatsu N;Todo T;Ito T;Massaki K;Kasahara A;Amano H;Reading BJ;Matsubara T;Sawaguchi S;Sullivan CV;Hara A;澤口小有美・大久保信幸・市川卓・村上直人・松原孝博;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;Masaki Tsukamoto;Masaki Tsukamoto;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;Masaki Tsukamoto;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;塚本 真輝;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;服部寛;渡邊美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡邉美香;渡邉美香;渡辺 美香;渡辺 美香;Noriko Ohtake;Kenichi Niikura;Noriko Ohtake;Noriko Ohtake;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;Nagahama Y.;大竹範子;大竹範子;Yinglu H.;Noriko Ohtake;Nagahama Y.;大竹範子;Ardyant TD.;Noriko Ohtake;Huang X.;大竹範子;Yumi Nagahama;Noriko Ohtake;Yumi Nagahama;永川 桂大;Yumi Nagahama;石塚 範子;石塚 範子;Nagahama Yumi;望戸 愛果;望戸 愛果;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也;渡辺達也
• 通讯作者: 渡辺達也