曲面の写像類群とその線型表現

曲面的映射类群及其线性表示

基本信息

批准号：
18840008
负责人：
鈴木正明
金额：
$ 1.27万
依托单位：
Akita University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (Start-up)
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

曲面の写像類群のマグナス表現は自由微分(もしくはフォックス微分)と呼ばれる代数的計算を用いて定義される。次数つきマグナス表現の核を調べる上でこの考察は非常に大事な役割を果たす。1次のマグナス表現はTorelli群のマグナス表現と呼ばれるが、これに関しては核は非自明であることが知られているが、2次以上のマグナス表現に関しての忠実性、すなわち核が非自明かどうかは知られていない。これに関して決定するために、まず自由微分と自由群のべき零群とめ関連について調べた。これらの計算は非常に複雑なのでコンピュータ上のプログラムを構築し、計算機によって計算を大量に行うことを試みた。また同じくこの自由微分を用いて定義されるねじれAlexander多項式についても研究を行った。ねじれAlexander多項式を用いて、結び目群の間に全射準同型が存在しないことの十分条件が知られている。これを用いて10交点以下の素な結び目に関して、それらの結び目群の間に全射準同型があるかどうかが決定されている。その研究を踏まえ、全射準同型の存在理由について考察した。具体的には、結び目の周期によって全射準同型が存在することが分かるものがいくつかある。また、写像度1の写像が結び目の外部の間に存在すると、それは結び目群の間に全射準同型を誘導することが知られている。全射準同型が存在するとき、具体的にどの全射準同型が写像度1の写像によって誘導されているものかを決定した。さらに全射準同型の存在は素な結び目の半順序を定義するが、この半順序における極小元について考察した。

曲面映射类组的 Magnus 表示是使用称为自由微分（或 Fox 微分）的代数计算来定义的。这种考虑对于研究马格努斯度表示的核心起着非常重要的作用。一阶 Magnus 表示称为 Torelli 群的 Magnus 表示，已知核在这方面是非平凡的，但是二阶和高阶 Magnus 表示的保真度，即是否内核是否不平凡尚不清楚。为了确定这一点，我们首先研究了自由微分与自由群的零群光阑之间的关系。由于这些计算极其复杂，我们构建了一个计算机程序并尝试使用计算机执行大量计算。我们还研究了使用这种自由微分定义的扭曲亚历山大多项式。使用扭曲亚历山大多项式，已知结群之间不存在满射同态的充分条件。这已用于确定交点少于 10 个的不相交结之间是否存在双射同态。在此研究的基础上，我们思考了满射同态存在的原因。具体来说，有几种情况是双射同态的存在是由结的周期决定的。还知道，当结的外部之间存在度为 1 的映射时，会引起结群之间的双射同态。当存在满射同态时，我们专门确定了哪些满射同态是由 1 次映射引发的。此外，双射同态的存在定义了不相交结的偏序，并且我们考虑了该偏序中的最小元素。