曲面の写像類群とその線型表現

曲面的映射类群及其线性表示

基本信息

批准号：
18840008
负责人：
鈴木正明
金额：
$ 1.27万
依托单位：
Akita University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (Start-up)
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

曲面の写像類群のマグナス表現は自由微分(もしくはフォックス微分)と呼ばれる代数的計算を用いて定義される。次数つきマグナス表現の核を調べる上でこの考察は非常に大事な役割を果たす。1次のマグナス表現はTorelli群のマグナス表現と呼ばれるが、これに関しては核は非自明であることが知られているが、2次以上のマグナス表現に関しての忠実性、すなわち核が非自明かどうかは知られていない。これに関して決定するために、まず自由微分と自由群のべき零群とめ関連について調べた。これらの計算は非常に複雑なのでコンピュータ上のプログラムを構築し、計算機によって計算を大量に行うことを試みた。また同じくこの自由微分を用いて定義されるねじれAlexander多項式についても研究を行った。ねじれAlexander多項式を用いて、結び目群の間に全射準同型が存在しないことの十分条件が知られている。これを用いて10交点以下の素な結び目に関して、それらの結び目群の間に全射準同型があるかどうかが決定されている。その研究を踏まえ、全射準同型の存在理由について考察した。具体的には、結び目の周期によって全射準同型が存在することが分かるものがいくつかある。また、写像度1の写像が結び目の外部の間に存在すると、それは結び目群の間に全射準同型を誘導することが知られている。全射準同型が存在するとき、具体的にどの全射準同型が写像度1の写像によって誘導されているものかを決定した。さらに全射準同型の存在は素な結び目の半順序を定義するが、この半順序における極小元について考察した。

使用称为游离衍生物（或FOX衍生物）的代数计算来定义一组表面的Magnus表示。这种考虑在检查有序的马格努斯表示核心方面起着非常重要的作用。一阶的马格努斯表示称为托雷利（Torelli）群的马格努斯表示，尽管众所周知，在这方面，核是非平凡的，但尚不清楚核是否非平凡。为了确定这一点，我们首先研究了自由衍生物和自由组的功率零组的关联。这些计算是如此复杂，以至于我们试图在计算机上构建程序并使用计算机执行大量计算。我们还对使用该自由衍生物定义的扭转亚历山大多项式进行了研究。使用扭转的亚历山大多项式，由于结组之间没有全射同构象同态而知道了足够的条件。这是用于确定打结组之间是否有10个交叉点的原始结组之间的所有同态。基于这项研究，我们讨论了所有纤维同态存在的原因。具体而言，根据结期，有几种可以看见是一个完整的同态。众所周知，当打结之间存在地图1时，它会在结之间诱导结中的完全同态。当所有同态存在时，确定了哪个总同态由1映射映射特别诱导。此外，全塑形的存在定义了平原结的半顺序，但是讨论了该半顺序中的最小元素。