結び目理論におけるVassiliev不変量の研究

纽结理论中Vassiliev不变量的研究

• 批准号: 06740060
• 负责人: 大山 淑之
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Nagoya Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740060/
• 关键词: 結び目; バシリエフ不変量; ツウィスティング; トーラス結び目

1990年いわゆる量子群不変量をすべて含んでしまう様なVassiliev不変量が登場し、更に公理的な定義も可能となった。しかしこの不変量は、不変数の無限例という形をとり各orderがベクトル空間となり計算することさえ、たいへん困難なものである。既に研究者本人により,ある特別な性質をもつ結び目に対しては、無制限のあるところま、ですべて0の値をとってしまうことが知られている。見方をかえればVassiliev不変量を正則射影図により特微付けたともいえる。Vassiliev不変量自体、数理物理等の分野の研究により様々な解釈がなされているのであるが、結び目理論からみれば、結び目のどの様な特微をとらえているのか、研究することが重要視され、代表的な結び目に対し、どの程度情報が与えられるのかという研究が必要となる。そこで結び目に対するtwistingという操作とVassiliev不変量の関係について考察をおこなった。Twistingは補空間のswrgeryといいかえることができ,結び目の局所変形としても,代表的なものである。自明な結び目のある射影図をとり、局所的にひねりを加えていく。すると、結び目の無限列を定義することができ、Vassiliev不変量を.その無限列に制限すると、Vassiliev不変量の次元が決定でき,topologicalな情報としては,order2と3によりつくされてしまうことがわかる。このことにより,ある種のtorus kuotのVassiliev不変量が決定できたことになる。

1990年，包含所有所谓量子群不变量的瓦西里耶夫不变量出现，更加公理化的定义成为可能。然而，这个不变量采用无限个不变量实例的形式，并且每个阶都是一个向量空间，甚至计算起来都极其困难。研究人员已经知道，对于具有某些特殊属性的结，所有值都是 0 到无限点。从另一个角度来看，可以说Vassiliev不变量的特点是正则投影图。瓦西里耶夫不变量本身已经被数学物理等领域的研究以各种方式解释，但从纽结理论的角度来看，重要的是研究它捕获了纽结的哪些特征，有必要研究给出了多少信息。对于典型的结。因此，我们考虑了纽结的扭转操作与 Vassiliev 不变量之间的关系。扭曲可以称为互补空间中的扭曲，也是结的典型局部变形。我们取一张有明显结点的投影图，并添加局部扭曲。然后，我们可以定义一个无限的结序列，并通过将 Vassiliev 不变量限制为该无限序列，我们可以确定 Vassiliev 不变量的维数，拓扑信息表明它已被 2 阶和 3 阶穷举。我明白了。这意味着可以确定 torus kuot 的一种 Vassiliev 不变量。