力学系に現れるフラクタルの位相的研究

动力系统中出现的分形的拓扑研究

基本信息

批准号：
06740063
负责人：
亀山敦
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740063/
关键词：
フラクタル複素力学系一次元力学系 Kneading theory

项目摘要

一次元複素力学系であらわれるフラクタルであるジュリア集合、マンデルブロ-ト集合には密接な関係があることが知られていた。すなわち、力学系の相空間内の不変集合であるジュリア集合の性質しパラメーター空間内の分岐集合であるマンデルブロ-ト集合の中に既に「局所的に」含まれている。ところが、今回の研究により、もっと大ざっぱな見方(組合せ的見地)をすれば、大域的な相似関係にあることがわかった。マンデルブロ-ト集合の性質を知るには、ジュリア集合を調べればよい、と標語的に言われている(一般的にジュリア集合の方が調べやすい)ことが、さらに裏付けられたことになる。また、これは実一次元力学系のkneading sequencesの単調性の拡張にもなっており、分岐の過程で、周期点のタイプがどのように出現してくるかということを示すものでもある。そのような観点から、解析的という条件を除いた力学系についても考察した。つまり、球面上の二次のトポロジカルな分岐被覆写像による力学系である。この場合、相空間とパラメーター空間の間の関係などが解析的の場合のようになることは期待できないと思われるが、kneadingtheoryに相当するものはある程度構成することができるであろう。現在、まだ研究は完成していない段階だが次のようなことがわかっている。平面上の二次分岐被覆で、postcritically finiteな二次の多項式写像と分岐点の振る舞いが同値なものを考える。このとき、「必ず」存在する周期点の組みがあることがわかるが、それは二次多項式写像の力学系で(つまりはジュリア集合で)特徴づけられる。この事実は、複素力学系の中のある性質は、条件を緩くしたトポロジカルな力学系において既に現れていることを示している。もう少しある種の「拡大性」をつけ加えた力学系では、さらに複素力学系に近いものが現れることもわかる。

众所周知，Julia 集和 Mandelbrot 集之间存在密切的关系，它们是出现在一维复杂动力系统中的分形。也就是说，Julia 集（动态系统相空间中的不变集）的属性已经“局部”包含在 Mandelbrot 集中，Mandelbrot 集是参数空间中的分支集。然而，这项研究揭示了从更一般的角度（组合角度）来看，存在全局相似关系。这进一步证实了这样的座右铭：要理解 Mandelbrot 集的属性，应该检查 Julia 集（一般来说，Julia 集更容易检查）。这也是真实一维动力系统中捏合序列单调性的延伸，并展示了在分岔过程中如何出现周期点的类型。从这个角度来看，我们还考虑了排除分析条件的动力系统。换句话说，它是一个基于球面上二阶拓扑分支覆盖映射的动力学系统。在这种情况下，不能期望相空间和参数空间之间的关系与解析情况中的相同，但在某种程度上构建与捏合理论等效的东西是可能的。尽管研究尚未完成，但已知以下情况。考虑平面上的二次分叉覆盖，其分叉点处的行为等效于后临界有限二次多项式映射。在这种情况下，可以看出，存在一组“总是”存在的周期点，但其特征是二次多项式映射的动态系统（即朱莉娅集）。这一事实表明，复杂动力系统的某些性质已经出现在宽松条件的拓扑动力系统中。可见，添加了某种“可扩展性”的动力系统就变得更加类似于复杂的动力系统。