ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルに関する研究

泊松随机薛定谔算子谱的研究

• 批准号: 17740081
• 负责人: 神永 正博
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Tohoku Gakuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740081/
• 关键词: デルタポテンシャル; シュレーディンガー作用素; 非線形方程式; ランダムポテンシャル

本研究は,当初,ポアソンランダムシュレーディンガー作用素のスペクトルの決定問題を目標として申請されたが,一部の例外(2次元の場合で,サイトポテンシャルの積分値が4πの整数倍になる場合)を除いて問題が解決されてしまったため,問題を他のものに変更した.変更当初は,デルタ型のサイトポテンシャルがボアソン分布するモデルを考えていたが,自己共役性の証明がうまくいかず,成果は得られなかった.その後,科研費を利用して参加した岡山大学での数学会で,偶然,埼玉大学の太田雅人助教授と会い,問題についていろいろと話をするうちに,非線形シュレーディンガー方程式にデルタ型のdefectがある場合の問題を考えると面白いのではないかという展開になった.そ1の後,たびたび科研費を利用させていただき,太田氏と議論を深め,以下のような問題について,部分的な結果を得た.まず,attractiveなnonlinearityとrepulsiveなnonlinearityを原点で接合した空間一次元の非線形シュレーディンガー方程式を考える.比較的簡単な議論で,この方程式が定常解を持たないことが証明できる.そこで,原点にデルタ型のdefectを入れてみる.Defectがrepulsive(係数が正)であれば定常解は存在しないが,attractive(係数が負)であれば,定常解が出現することが証明できる.また,その安定性と不安定性とパラメータの関係を示すことができる.これは,解が具体的に表示できることを陽に利用することにより,解のnormの二乗の微分が計算して証明される.現在,本結果を整理中であり,できるだけ早い時期に論文にまとめて投稿する予定である.

这项研究最初用于确定泊松随机施罗宾格操作员的频谱作为目标，但是在某些例外情况下（如果是2D，当站点电位的积分值是4π的整数倍数），则解决了问题，因此问题将问题更改为其他。在变更开始时，我们有一个模型，其中分布了三角洲型站点的电位，但是自我缀合的证明尚未得到很好的证明，我们无法获得结果。之后，在我使用科学研究基金会参加的冈马大学的数学会议上，我碰巧与Saitama University的助理教授Ota Masato会面，在谈论各种问题时，很明显，当非线性Schrodinger方程有Delta-tepepe的缺陷时，考虑到这个问题会很有趣。之后，我使用了科学研究基金，并加深了与OTA先生的讨论，并讨论了以下问题。我们获得了部分结果。首先，我们考虑一个空间的一维非线性schrödinger方程，其中有吸引力的非线性和排斥性非线性在起源上连接。一个相对简单的参数可以证明，该方程没有稳态解决方案。因此，让我们在原点放置一个三角洲型缺陷。如果缺陷是排斥性的（正系数），则没有稳态解决方案，但是如果吸引人（负系数），则可以证明出现稳态溶液。它还可以显示其稳定性，不稳定性和参数之间的关系。通过明确使用可以专门显示解的解决方案，可以通过计算解决方案规范平方的差异来证明这一点。我们目前正在组织结果，并计划尽快将它们全部提交。