ソリトン方程式の超離散解析

孤子方程的超离散分析

基本信息

批准号：
17740095
负责人：
野邊厚
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2005
资助国家：
日本
起止时间：
2005 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

平成18年度は次に挙げる研究を行った.(1)Jacobiの楕円関数の超離散化およびその可積分系への応用(2)双曲型sin関数を用いた変形KdV方程式の超離散化(3)可逆エレメンタリーセルオートンマトンの可積分性Jacobiの楕円関数の超離散化については既に先行する研究があったが,そこでは母数の超離散極限値が1の場合しか考慮されていなかった.そこで,(1)において,母数の超離散極限値全て(0,1,∞)について考察し,それぞれの場合におけるJacobiの楕円関数の超離散化を求めた.いずれの場合にもいても三つの楕円関数のうちの二つのみ周期関数となり,残りの一つは定数関数となることが示された.また,このようにして得られた超離散sn関数を用いて超離散QRT系の解を構成した.これまでの超離散化手法では零点を含むような関数を直接超離散化することはできなかった.しかし,(2)において,双曲型sin関数を用いた新しい超離散化手法を導入し,零点を含むような関数も超離散化可能であることを示した.さらに,この超離散化手法を用いて,変形KdV方程式のソリトンと反ソリトンの衝突が超離散系においても再現されることを示した.これまで箱玉系以外の可積分セルオートマトンはほとんど発見されていなかった.そこで,可逆セルオートマトンの中から可積分セルオートマトンを発見すべく,(3)において,可逆エレメンタリーセルオートマトンについて詳しく調べ,その中に線形化可能なセルオートマトンが存在することを示した.すなわち,初期状態を適切に分割することにより,周期境界をもつある非線形可逆セルオートマトンの初期値問題が,ある線形系の初期値境界値問題に帰着されることを示した.また,そのような線形化可能セルオートマトンの基本周期の明示公式を得た.

在2006财年，我们进行了以下研究：（1）雅可比椭圆函数的超离散化及其在可积系统中的应用（2）使用双曲正弦函数对修正KdV方程进行超离散化（3）可逆初等大提琴- Tonmutton 的可积性先前已经有关于 Jacobi 椭圆函数超离散化的研究，但该研究仅考虑了参数超离散极限值为 1 的情况。因此，在式（1）中，，超离散参数我们考虑了所有极限值（0, 1, ∞），并发现了每种情况下雅可比椭圆函数的超离散化。在任何情况下，三个椭圆函数中只有两个是周期函数，其余一个是常数。另外，利用这种方式得到的超离散sn函数来构造超离散QRT系统的解。在以前的超离散方法中，很难求解包含零点的函数。直接对其进行超离散化。然而，在（2）中，我们引入了一种使用双曲正弦函数的新超离散化方法，并表明包含零点的函数也可以使用修正的 KdV 方程的孤立点进行超离散化。结果表明，即使在超离散系统中，孤子和反孤子之间的碰撞也可以重现。到目前为止，除了盒子和球系统之外，还很少发现可积元胞自动机。为了发现maons，在（3）中我们详细研究了可逆的初等元胞自动机，并表明存在可以线性化的元胞自动机，即通过适当划分初始状态，我们可以证明的初值问题。具有边界的非线性可逆元胞自动机可以简化为线性系统的初始值边值问题，我们还获得了这种可线性化元胞自动机 Ta 的基本周期的显式公式。