楕円型方程式の特異摂動問題に関する研究

椭圆方程奇异摄动问题的研究

• 批准号: 17740092
• 负责人: 柴田 将敬
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740092/
• 关键词: 特異極限; 変分法

方程式-ε^2Δu=g(u) in Ωの正値解について、一般の非線型項g(u)でε→0での特異極限問題を考え、方程式が一ε^2Δu=(u-1)^p_+でp【greater than or equal】1の場合に得られる結果がどの程度一般的な非線型項g(u)に対して成立するのかについて研究・考察を行った。この非線型項はzero mass caseと呼ばれ、同様の特異極限の問題で非常に多く研究されているpositive mass caseでは解が指数減衰するのに対し、zero mass caseでは指数減衰しない点が大きく異なっている。予想としては、全空間の問題について考察されている[H.Berestycki and P.L.Lions, Arch.Rat.Mech.Anal.82(1983)]で挙げられているg(u)の条件をみたす程度まで一般化できると思われる。特に方程式-ε^2Δu=V(χ)g(u) in Ωに対して、領域やV(χ)が解に与える影響を考察した[Shibata, Asymptotic Anal.31(2002)]を一般の非線型項に拡張するべく研究・考察を行い、[Berestycki-Lions(1983)]で挙げられている条件と同様の条件をg(u)に仮定し、最小エネルギー解はV(χ)の最大値付近に集中するような形状を持つ解であるという結果を得た。上の[Shibata(2002)]では解の形状に関してさらに詳しい結果を得ているが、その部分が一般のg(u)について成立するか、また、さらに高いエネルギーの解を構成出来るかどうかは、今後の課題である。ここで用いた方法はエネルギーにペナルティを加える方法であり、positive mass caseの場合に非常に良く使われている方法をこの問題に適用可能なように変更し、結果を得た。

关于Ω中方程-ε^2Δu=g(u)的正值解，用一般非线性项g(u)考虑ε→0处的奇异极限问题，方程变为-ε^2Δu=(u -1 )^p_+ 和 p [大于或等于] 1。我们研究并考虑了当 p [大于或等于] 1 时获得的结果在多大程度上适用于一般非线性项 g(u)。这个非线性项称为零质量情况，主要区别在于，在正质量情况下（在类似的奇异极限问题中已被广泛研究），解呈指数衰减，但在零质量情况下，解不衰减呈指数增长。推测是，只要它满足 [H.Berestycki 和 P.L.Lions, Arch.Rat.Mech.Anal.82(1983)] 中列出的 g(u) 条件，它就具有一般性，该条件考虑了以下问题好像所有的空间都可以做成。特别是，对于 Ω 中的方程 -ε^2Δu=V(χ)g(u)，我们考虑了区域和 V(χ) 对解的影响 [Shibata，Asymptotic Anal.31(2002)]经过研究和考虑，以便将其扩展到一般非线性项，并假设g(u)的条件类似于[Berestycki-Lions(1983)]中列出的条件，我们得到的结果是能量解是形状集中在 V(χ) 最大值附近的解。上述[Shibata (2002)]获得了关于解的形状的更详细的结果，但是尚不清楚这部分是否适用于一般的g(u)或是否可以构造具有更高能量的解。一个未来的问题。这里使用的方法是对能量添加惩罚的方法，并将在正质量情况下非常常用的方法进行修改以适用于该问题，并得到了结果。