Atkinのp進保形式に関する予想とMoonshine

关于 p 调整形式和 Moonshine 的阿特金猜想

基本信息

批准号：
05740012
负责人：
秋山茂樹
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至 1994
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740012/
关键词：
Atkin Conjecture modulor Function Lucas sequence elliptic function least commen multiple

项目摘要

p進保型形式に関するAtkinの予想は、一般的性質の期待できない重さ0の保型形式であるmodular不変量に関してもp進的に見ればHecke作用素の同時固有関数とみなせるという著しい予想であるが、この現象をとらえる範疇としては、種数0の数論的不連続群に関する一般化されたmodular不変量の無限遠点でのフーリエ展開の係数に関する同様な予想にまで拡張して考えるのが適切で、これはmoonshineと呼ばれるConway-Nortonらの一連の予想と関連があることがわかってきた。特にReplication formulaと呼ばれる一連の予想は証明の本質的部分に関わって現れる。p=13の場合は小池先生の論文で解決し、その方法を拡張してやることでp=2の場合は筆者の論文によって解決した。今年度は科研費補助金により小池先生との情報交換も含め多くの方との論議を行うことができ、p=3の場合は、0.Kolbergの結果を用いる事でp=2の場合とほぼ同様の結果を得ることができた。(発表予定)また他の素数進法の場合にはどのようになっているのかを調べるには、肥田先生のp進保型形式とp進Hecke作用素の理論が役立つものと思われる。この理論の大切な部分にHecke作用素のordinary partという考え方があり、これはおそらくAtkin予想の一般的解決にも役立つものと思われる。これについては引き続き研究を継続する。

阿特金关于 p 进自同构形式的猜想是一个值得注意的猜想，即使是权重为 0 的自同构形式，没有预期的一般性质，从 p 进角度来看，也可以被视为 Hecke 算子的联立本征函数。捕捉这种现象的是属 0 的数量。可以将其扩展到理论不连续群上广义模不变量的无穷远傅里叶展开系数的类似猜想，该猜想基于 Conway-Norton 等人的系列，称为“moonshine”。与预测存在相关性。特别是，出现了一系列与证明的基本部分相关的猜想，称为复制公式。小池教授的论文解决了p=13的情况，通过扩展该方法，作者的论文解决了p=2的情况。今年，多亏了科学研究补助金，我们能够与很多人进行讨论，包括与小池教授交换信息，得到了几乎相同的结果。（预定的演讲）此外，Hida 教授的 p-adic 形式和 p-adic Hecke 算子理论将有助于研究其他素数基系统中发生的情况。这个理论的一个重要部分是赫克算子的普通部分的思想，这对于解决一般的阿特金猜想可能很有用。我们将继续对此主题的研究。