大規模非線形行列方程式を解くためのアルゴリズム実用化に関する研究

大规模非线性矩阵方程求解算法的实际实现研究

基本信息

批准号：
15700016
负责人：
向谷博明
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では,大規模動的システムにおけるナッシュゲーム問題のナッシュ均衡を実現するために解く必要がある大規模非線形行列方程式に対して,解を求めるための数値計算アルゴリズムの実用化を行った.ニュートン法を適用するために,大規模非線形行列方程式の解の構造,及び存在性をニュートン・カントールビッチ定理よって明らかにした.その結果,低次元化されたシステムのリカッチ方程式と摂動項を含む連立型リカッチ方程式に対して,解の関係を新たに確立することができた.このとき,解の構造を保証する摂動パラメータの範囲も明らかにした.次に,ニュートン法に現れる大規模線形方程式を解くためのアルゴリズムを不動点アルゴリズムによって導出した.また,収束の証明には不動点定理を適用した.ニュートン・カントールビッチ定理,不動点定理を適用することにより,アルゴリズムの初期値に依存することなく,すばやく解を求めることが可能となった.さらに行列計算に必要なワークスペースの低次元化に成功した.最後に,得られた高近似ナッシュ戦略による評価関数の劣化の程度を解析的に明らかにした.その結果,摂動項が十分小さい場合,ナッシュ均衡を保証することが示された.本研究で提案される高近似ナッシュ戦略に対して,以下の有用な結果が得られた.i)数値計算アルゴリズムは二次収束を保証する.ii)実プラントのサブシステムの個数が幾つあっても,行列計算に必要とされる次元は各サブシステムの次元と等しい.iii)新たに得られた不動点アルゴリズムは,一次収束を保証する.iv)提案された設計手法は,サブシステムの個数に制限がないので,様々な実システムに対して広範囲に適用可能である.

在本研究中，我们应用数值计算算法来寻找需要求解的大型非线性矩阵方程的解，以实现大规模动态系统中纳什博弈问题的纳什均衡，以便应用该方法。使用牛顿-坎托维奇定理解决大规模非线性矩阵方程的结构和存在性。我们能够为包含 Chi 方程和扰动项的联立 Riccati 方程建立新的解关系，同时我们还明确了保证解的结构的扰动参数的范围。使用不动点算法求解方程中出现的大规模线性方程。我们还应用不动点定理来证明收敛性。应用牛顿-康托维奇定理和不动点定理通过这样做，我们可以在不依赖算法初始值的情况下快速找到解决方案，此外，我们成功地降低了矩阵计算所需的工作空间的维数。最后，我们得到了高近似纳什策略。分析阐明了由于以下原因导致的评价函数恶化的程度我们获得了有用的结果。i）数值计算算法保证二次收敛。ii）无论实际工厂中有多少个子系统，每个子系统所需的矩阵计算维数都是相同的iii）新获得的定点算法。保证一阶收敛。iv)所提出的设计方法对子系统的数量没有限制，因此可以广泛应用于各种实际系统。