大規模非線形行列方程式を解くためのアルゴリズム実用化に関する研究

大规模非线性矩阵方程求解算法的实际实现研究

基本信息

批准号：
15700016
负责人：
向谷博明
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では,大規模動的システムにおけるナッシュゲーム問題のナッシュ均衡を実現するために解く必要がある大規模非線形行列方程式に対して,解を求めるための数値計算アルゴリズムの実用化を行った.ニュートン法を適用するために,大規模非線形行列方程式の解の構造,及び存在性をニュートン・カントールビッチ定理よって明らかにした.その結果,低次元化されたシステムのリカッチ方程式と摂動項を含む連立型リカッチ方程式に対して,解の関係を新たに確立することができた.このとき,解の構造を保証する摂動パラメータの範囲も明らかにした.次に,ニュートン法に現れる大規模線形方程式を解くためのアルゴリズムを不動点アルゴリズムによって導出した.また,収束の証明には不動点定理を適用した.ニュートン・カントールビッチ定理,不動点定理を適用することにより,アルゴリズムの初期値に依存することなく,すばやく解を求めることが可能となった.さらに行列計算に必要なワークスペースの低次元化に成功した.最後に,得られた高近似ナッシュ戦略による評価関数の劣化の程度を解析的に明らかにした.その結果,摂動項が十分小さい場合,ナッシュ均衡を保証することが示された.本研究で提案される高近似ナッシュ戦略に対して,以下の有用な結果が得られた.i)数値計算アルゴリズムは二次収束を保証する.ii)実プラントのサブシステムの個数が幾つあっても,行列計算に必要とされる次元は各サブシステムの次元と等しい.iii)新たに得られた不動点アルゴリズムは,一次収束を保証する.iv)提案された設計手法は,サブシステムの個数に制限がないので,様々な実システムに対して広範囲に適用可能である.

在这项研究中，我们已将实际使用数值算法用于查找需要解决的大规模非线性矩阵方程的解决方案，以在大规模动态系统的NASH游戏问题中实现NASH平衡。为了应用牛顿方法，牛顿 - 托尔比奇定理揭示了大规模非线性基质方程的解决方案的结构和存在。结果，我们为同时的Rikatch方程建立了新的解决方案关系，该方程在缩小尺寸系统中包括Rikatch方程和扰动项。目前，我们还阐明了保证解决方案结构的扰动参数的范围。接下来，我们得出一种用于求解使用固定点算法在牛顿方法中出现的大规模线性方程的算法。此外，固定点定理用于收敛证明。应用了牛顿 - 塔托比奇定理和固定点定理。这使得在不依赖算法的初始值的情况下快速找到解决方案是可能的。此外，我们成功地减少了矩阵计算所需的工作空间。最后，我们通过分析揭示了由于获得了高度近似纳什策略而导致评估函数的恶化程度。结果表明，当扰动项足够小时，可以保证纳什平衡。对于本研究提出的近似NASH策略，获得了以下有用的结果：i）数值算法保证二次收敛。 ii）无论实际植物中有多少个子系统，矩阵计算所需的维度都等于每个子系统的尺寸。 iii）新获得的固定点算法保证线性收敛。 iv）提出的设计方法广泛适用于各种实际系统，因为子系统的数量没有限制。