特異点理論による幾何学の新展開

基于奇点理论的几何学新进展

基本信息

批准号：
04J05106
负责人：
佐治健太郎
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Hokkaido University (2005-2006)Hiroshima University (2004)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

この研究により得られた結果は以下の通り。1,波面の幾何学に関して昨年、梅原雅顕氏と山田光太郎氏と共同で、波面の特異点に関して曲率を導入し、その性質を調べた。その後、ルジャンドル多様体への写像として定式化されていた波面の概念を内在的な概念に定式化し、ピークという非常に弱い条件の特異点のみを許した内在的な波面に対して、重要な特異曲線の上組・下組の概念を発見し、それによりガウス・ボンネの定理を証明した。また、高次元の波面のA型と呼ばれる特異点に関して、使いやすい判定法を証明した。2,ユークリッド空間内の波面の曲率と、波面を平面へ射影したときに出来る特異点の像の曲率との関係を明らかにした。これにより平面に射影して出来る特異点の数を数えることによって波面の曲がり具合をあらわす大域的な不変量を計算できるようになる可能性が高い。3,双曲空間内の曲面に関して、泉屋周一氏と高橋雅朋氏と共同でホロ球との近さを量る幾何学を研究した。そのような意味での曲率が消える曲面を定義し、それをユークリッド空間の線織面の研究と対比させて締活線の存在や特異点について論じた。また、波面のくちばし、くちびると呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。双曲空間と光錐内の曲面間の双対性を論じ、特異点を持つ点は対応しており、その性質が対になっていることを発見した。4,波面のA4分岐と呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。同次元間の写像のモラン型と呼ばれる特異点に関して使いやすい判定法を証明した。また、他の特異点(モンド型)等に関しては判定法は得られなかったが、判定法を得るための足がかりをいくつか得た。これらの判定法は様々な場面で有用であり、今後はこれらの応用を考えていきたい。

本研究的结果如下。 1. 关于波前的几何形状去年，我们与 Masaaki Umehara 和 Kotaro Yamada 合作，引入了关于波前奇点的曲率并研究了其性质。后来，波前的概念被表述为勒让德流形的映射，被表述为一个内在概念，并且对于只允许具有称为峰值的非常弱条件的奇点的内在波前，一个重要的奇点是他发现了上曲线集和下曲线集的概念，从而证明了高斯-博内定理。我们还证明了一种易于使用的方法，用于确定高维波前中称为 A 型奇点的方法。 2. 阐明了欧氏空间中波前的曲率与波前投影到平面上所形成的奇点像的曲率之间的关系。这可能使得通过计算投影到平面上所创建的奇异点的数量来计算表示波前曲率程度的全局不变量成为可能。 3.关于双曲空间中的曲面，我与Shuichi Izumiya和Masatomo Takahashi合作研究了测量全息层接近度的几何形状。他定义了这种意义上的曲率消失的曲面，并将其与欧几里德空间中线性曲面的研究进行了比较，并讨论了紧活线和奇点的存在。我们还演示了一种易于使用的方法，用于确定波前称为喙和唇的奇异点。他讨论了双曲空间和光锥曲面之间的对偶性，并发现具有奇点的点对应并且它们的属性是配对的。 4. 我们证明了一种易于使用的关于称为波前A4分岔的奇点的判断方法。我们已经证明了一种易于使用的奇点判断方法，称为相同维度之间的莫兰型映射。另外，虽然我们无法获得其他奇点（Mondo型）的确定方法，但我们为获得确定方法获得了一些立足点。这些确定方法在各种情况下都很有用，我们希望在未来考虑它们的应用。

项目成果

期刊论文数量（1）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Singularities of smooth mappings with patterns

具有模式的平滑映射的奇点

DOI：
发表时间：
2007
期刊：
Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (to appear)
影响因子：
0
作者：
T.Shibata;S.Kadowaki;K.Takagi;Koji Fuji;Tanaka K;Tsutsumi S;Hoshino T et al.;Tanaka K et al.;中道上;佐治健太郎
通讯作者：
佐治健太郎

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DOI：
发表时间：
2007
期刊：
Acta Crystallogr.F 63・1
影响因子：
0
作者：
T.Shibata;S.Kadowaki;K.Takagi;Koji Fuji;Tanaka K;Tsutsumi S;Hoshino T et al.;Tanaka K et al.;中道上;佐治健太郎;Y.Takai
通讯作者：
Y.Takai

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DOI：
发表时间：
期刊：
Jpn.J.Appl.Phys. (条件付採択)
影响因子：
0
作者：
T.Shibata;S.Kadowaki;K.Takagi;Koji Fuji;Tanaka K;Tsutsumi S;Hoshino T et al.;Tanaka K et al.;中道上;佐治健太郎;Y.Takai;T.Furumiya;T.Furumiya
通讯作者：
T.Furumiya

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DOI：
10.2969/aspm/07810000
发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
0
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通讯作者：
高橋雅朋

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发表时间：
2006
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影响因子：
0
作者：
T.Shibata;S.Kadowaki;K.Takagi;Koji Fuji;Tanaka K;Tsutsumi S;Hoshino T et al.;Tanaka K et al.;中道上;佐治健太郎;Y.Takai;T.Furumiya
通讯作者：
T.Furumiya

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DOI：
发表时间：
2004
期刊：
行動科学 43
影响因子：
0
作者：
T.Shibata;S.Kadowaki;K.Takagi;Koji Fuji;Tanaka K;Tsutsumi S;Hoshino T et al.;Tanaka K et al.;中道上;佐治健太郎;Y.Takai;T.Furumiya;T.Furumiya;T.Furumiya;小野田慶一
通讯作者：
小野田慶一