流体力学極限の確率過程論的研究

流体动力学极限的随机过程研究

基本信息

批准号：
03640207
负责人：
舟木直久
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1991
资助国家：
日本
起止时间：
1991 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

流体力学極限の問題をGinzburgーLandauモデル及び排除過程に対し研究した。前者は,d次元空間R^d上に分布する連続体のランダムな時間発展を与えるモデルである。流体力学極限の問題を扱うための準備として、その平衡状態の構成,特徴付け,エルゴ-ド性の証明等を行った。そこではスカラ-場のみを対象としたが,スピン場のとり得る値の空間が多様体をなすと考えた方がより一般的である。例えばHeisenberyモデルや非線形σモデルがその典型例である。このような場合も同時に扱うために,多様体に値をとる確率偏微分方程式を導入し,その解の存在と一意性,正則性等を示した。これはル-プ空間上の拡散過程の例も与える。一方後者の排除過程とは,格子点を相互作用しながら動く多数の酔歩系のモデルである。拡散型の時空のスケ-ル変換の下で,粒子系の密度場に対し大数の法則が成立し極限は非線形拡散方程式によって記述されることを証明した。粒子の飛び確率に基づく拡散係数の具体的表示も同時に与えた。関連した問題として低温極限の問題を考察した。GinzburgーLandauモデルの自己ポテンシャルが2つの底をもつ場合,対応するハミルトニアンの基底状態は一意的でない。それは無限次元空間内の有限次元部分多様体をなす。温度パラメ-タ-を0に近づけるとこ,無限次元の確率過程がこの部分多様体上の拡散過程に収束することを示した。これはDirichlet形式の観点から言えば対称測度が退化する場合を扱ったことに相当する。基確の空間が最初から有限次元多様体であっても,この問題は余り評しく調べられていなかった。更に,有限固の点集合に退化する場合も興味深い。そのためにWentzellーFreidlin型拡散過程のある領域からの平均脱出時刻を考え,その詳しい漸近展開を与える公式を導いた。あるいは,大偏差原理に対する補正項を与えたと言ってもよい。

研究了Ginzburg-Landau模型和排除过程的水动力极限问题。前者是给出分布在 d 维空间 R^d 上的连续体的随机时间演化的模型。为了准备处理流体动力学极限问题，我们构建并表征了其平衡状态，并证明了其遍历性。虽然这里只考虑了标量场，但更普遍的是考虑自旋场的可能值的空间形成流形。典型的例子是 Heisenbery 模型和非线性 σ 模型。为了同时处理此类情况，我们引入了一个在流形上取值的随机偏微分方程，并证明了其解的存在性、唯一性和规律性。这也给出了循环空间上的扩散过程的示例。另一方面，后者的消除过程是许多醉酒行走系统的模型，这些系统在与网格点交互的同时移动。我们证明大数定律对于扩散时空尺度变换下的粒子系统的密度场成立，并且极限由非线性扩散方程描述。同时还给出了基于粒子飞行概率的扩散系数的具体表示。作为一个相关问题，需要考虑低温限制问题。当Ginzburg-Landau模型的自势有两个基时，相应的哈密顿量的基态不唯一。它在无限维空间中形成有限维子流形。我们证明，当温度参数接近 0 时，无限维随机过程收敛为该子流形上的扩散过程。从狄利克雷形式的角度来看，这对应于处理对称测度退化的情况。尽管基本空间从一开始就是一个有限维流形，但这个问题还没有得到很好的研究。此外，退化为有限实体点集的情况也很有趣。为此，我们考虑了来自某个区域的 Wentzel-Freidlin 型扩散过程的平均逃逸时间，并推导出了给出其详细渐近展开的公式。或者，也可以说是针对大偏差原理设置了修正项。