非凸領域におけるパラメータ依存方程式に対する解の数値的検証法

非凸区域参数相关方程解的数值验证方法

基本信息

批准号：
15740069
负责人：
皆本晃弥
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Saga University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

Perturbed Gelfand方程式は、非線形パラメータ依存方程式の代表例であり、その解曲線はいくつかのTurning Pointをもつことが知られている。特に、2つのSimple Turning Pointがくっつく点であるDouble Turning Pointについては、数値的にも解析的にも興味をもたれ、さまざまな研究が行われてきた。しかし、方程式の非線形性が強く、Turning Point付近では一般的な非線形方程式に対する数値計算法が破綻するため、数値計算結果もあまり報告されていない。しかも、その報告はすべて近似解に関するものでDouble Turning Pointを精度保証付き数値計算で求めた例はない。また、最近ではDouble Turning Pointに対する精度保証付き数値計算法も提案されているが、実際に、無限次元問題に適用した例はない。そのような中、本研究では、問題を球対称解に制限した上で、Kellerらが導入した拡大方程式と中尾の方法を組み合わせてDouble Turning Pointの局所一意存在性を証明することに成功した。これは、無限次元問題のDouble Turning Point対して精度保証付き数値計算に成功した初めての例である。さらに、矩形領域や非凸領域上でも計算を行い、矩形領域ではいくつか解の数値的検証に成功した。なお、この研究の過程で、いくつかの幻影解(Ghost Solution)が観測された。

扰动Gelfand方程是非线性参数相关方程的典型例子，已知其解曲线有多个转折点。特别是，双转折点，即两个简单转折点交汇的点，在数值和分析上都引起了人们的兴趣，并且已经进行了各种研究。但该方程的非线性较强，一般的非线性方程数值计算方法在转折点附近失效，因此数值计算的结果并不常被报道。此外，所有这些报告都涉及近似解，并且没有使用保证精度的数值计算找到双转折点的例子。另外，最近提出了一种保证精度的双拐点数值计算方法，但还没有实际应用于无限维问题的例子。在本研究中，我们将问题限制为球对称解，并通过将 Keller 等人引入的展开方程与 Nakao 的方法相结合，成功证明了双转折点的局部唯一存在性。这是第一个成功数值计算的例子，并且保证了无限维问题中双转折点的精度。此外，我们还对矩形区域和非凸区域进行了计算，并成功地对矩形区域中的一些解进行了数值验证。在这项研究过程中，观察到了几种幻影解决方案。