虚数乗法を持つアーベル多様体のL関数とモチーフ的コホモロジーの研究

虚乘阿贝尔簇的L函数和类基序上同调研究

• 批准号: 15740004
• 负责人: 大坪 紀之
• 金额: $ 2.05万
• 依托单位: Chiba University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740004/
• 关键词: 数論; 代数幾何学; 数論幾何学; L関数; モチーフ; K理論; アーベル多様体; 代数的サイクル; 代数幾何; レギュレーター

当研究は、リーマン・ゼータ関数の一般化である代数体上の代数多様体のL関数を、その多様体のモチーフ的コホモロジーとそのレギュレーター写像によって理解することを目的にしている。数論におけるさまざまな予想、たとえばバーチ・スウィナートン・ダイアー予想、テイト予想、ブロック・加藤予想などはこの視点で捉えられる。モチーフ的コホモロジーは代数的サイクルの一般化でもあり、代数多様体上の部分多様体やその上の関数によって定義される。したがって非常に特別な場合を除いてはその構造は分かっていない。当研究では虚数乗法を持つアーベル多様体、特にヤコビ多様体の場合にモチーフ的コホモロジーにL関数の性質を反映するような元を構成することを目標とするが、フェルマー型のアーベル多様体にそのような元を構成し、そのレギュレーターがある特殊関数の特殊値で書けることが分かった。ベイリンソン予想との関係は引き続き研究中である。昨年度に続き、局所体上の代数多様体のモチーフ的コホモロジーとそのレギュレーター写像についても研究を行った。特に、楕円曲線、またはその積のp進レギュレーター写像(モチーフ的コホモロジーのp進完備化からp進ホッヂ理論を通してド・ラーム・コホモロジーに定義される写像)の全射性に関する研究を行い進展を得た。この研究には、代数的サイクルや局所体上の曲線の類体論への応用がある。当研究を進めるために国内の研究集会等に参加し、専門家との交流を行った。特に山崎隆雄氏(筑波大学)、Andreas Langer氏(名古屋大学客員)、佐藤周友氏(名古屋大学)らと討論を行った。また、数値的な側面からも研究を進めるためにソフトウェアMathematicaを用いた計算も行った。

本研究的目的是通过簇的基序上同调及其调节器映射来理解代数簇在代数域上的 L 函数，这是黎曼 zeta 函数的推广。数论中的各种猜想，如Birch-Swinnerton-Dyer猜想、Tate猜想、Block-Kato猜想等，都可以从这个角度来看。基序上同调也是代数环的推广，由代数簇上的子流形及其函数来定义。因此，除了非常特殊的情况外，其结构是未知的。在本研究中，我们的目标是构造一个反映具有虚乘的阿贝尔簇（尤其是雅可比簇）的基序上同调中 L 函数性质的元素，但我们也旨在构造反映基序中 L 函数性质的元素事实证明，我们可以构造这样一个元素并将其调节器写为特殊函数的特殊值。与贝林森猜想的关系仍在研究中。继去年之后，我们还研究了局部域上代数簇的基序上同调及其调节器映射。特别是，我们通过研究椭圆曲线或其乘积的 p 进调节图的满射性（通过 p 进 Hodge 理论从模态上同调的 p 进补全到 de Rahm 上同调定义的映射）取得了进展。这项研究可应用于代数环和局部域上曲线的类域论。为了推进这项研究，我们参加了国内的研究会议并与专家进行了互动。特别是与山崎隆雄先生（筑波大学）、安德烈亚斯·兰格先生（名古屋大学访问学者）、佐藤周智先生（名古屋大学）进行了讨论。我们还使用 Mathematica 软件进行计算，从数值角度推进我们的研究。