対称空間の幾何理論の研究

对称空间几何理论研究

• 批准号: 14740050
• 负责人: 田中 真紀子
• 金额: $ 0.83万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740050/
• 关键词: 対称空間; 点対称; 有限群; 極地; 子午空間; regular triple

対称空間を各点で点対称(その点が孤立固定点であるような包含的写像)の存在する有限次元多様体として定義し、各点で点対称と可換な写像を準同型とすれば、対称空間の圏が構成できる。ここで、各点対称が準同型(したがって同型)であることを圏の条件として付け加えておく。従来の対称空間の定義と異なる点は、非連結な対称空間(例えば、有限群など)を考えることができる点である。連結な場合には、自己同型群で不変なアフィン接続が一意的に存在することが導かれるので、通常の意味での対称空間と一致する。ここでは、対称空間の圏を有限次元多様体のなす圏の部分圏として定義したが、無限次元に拡張することも形式的には可能である。本研究では、このように対称空間の圏を見直し、有限群を含む有限対称空間への幾何理論の応用を試みる動機付けを得た。有限単群群の分類は1980年代の初めに完成したが、その証明は1万ページ以上になると言われている。証明において重要な役割りを果たすのが、位数2の元の中心化群である。これは、対称空間の立場から言えば「子午空間」と呼ばれるものである。一方、子午空間と組で現れる「極地」に対応するものは、部分群にはならないの興味の対称にはなっていない。コンパクト既約な対称空間は1組の極地と子午空間で決定されるという事実があるので、有限単純群に対しても、極地に対応するものを詳しく調べれば、より多くの情報が得られるはずである。この試みは現在進行中である。

如果我们将对称空间定义为在每个点处具有点对称性（一种包含映射，使得该点是孤立不动点）的有限维流形，并且令在每个点处与点对称性可交换的映射是同态的，则 ，可以构造对称空间的范畴。在这里，我们应该添加每个点对称性都是同态（因此同构）作为该类别的条件。与对称空间的常规定义的区别在于可以考虑不连通的对称空间（例如有限群）。在连通情况下，自同构群中存在唯一不变的仿射连通，因此它对应于通常意义上的对称空间。在这里，我们将对称空间范畴定义为有限维流形范畴的子范畴，但形式上也可以将其扩展到无限维度。在这项研究中，我的动机是回顾对称空间的类别，并尝试将几何理论应用于包含有限群的有限对称空间。有限单群的分类于 20 世纪 80 年代初完成，证明据说长达 10,000 多页。 2 阶元素的中心组在证明中起着重要作用。从对称空间的角度来看，这称为“子午空间”。另一方面，与经络空间成对出现的“极地”相对应的并不是一个子群，也不是一个有趣的对称性。由于紧致不可约对称空间确实是由一对极坐标和子午坐标空间决定的，因此即使对于有限简单群，我们也应该能够通过详细检查极坐标区域来获得更多信息。目前这项工作正在进行中。

项目成果

Makiko Sumi Tanaka: "Subspaces in the category of symmetric spaces"Contemporary Mathematics. 308. 305-313 (2002)

田中真纪子：“对称空间范畴中的子空间”当代数学。