非線形偏微分方程式系に対する差分解法を導出する離散変分法の開発,解析および応用

离散变分方法的开发、分析和应用，用于推导非线性偏微分方程系统的差分解析方法

• 批准号: 13750060
• 负责人: 降籏 大介
• 金额: $ 1.6万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13750060/
• 关键词: 非線型偏微分方程式; 離散変分法; 保存則; 差分法; 高次差分; Cahn-Hilliard方程式; スペクトル法; Segel-Keller方程式

本年度の目的は,初年度の研究結果をふまえた上で離散変分法を多くの非線形偏微分方程式に適用し,その結果得られる数値スキームを理論的に解析するとともに実際に数値計算を行ない,各方程式の数値実験結果を必要とする分野へ貢献することであった.この目的に対して研究を行なった結果,いくつかの新しい知見が得られた.まず年度の前半にその性質がよく調べられている方程式を中心に離散変分法を適用して研究を行なった.これらの方程式に対しての多くの研究が数値スキームの性質も解析しているため,離散変分法を適用した結果と比較が可能であり,これは離散変分法の適用性の検証を行なうことにもなった.この過程で,非線形性が多項式で表現されるような場合はtime-multistage化とよばれる手法により非線形性のオーダを下げられることに注目し,離散変分法と組み合わせることにより,安定かつ線型な差分スキームを構成できる可能性を見いだした.Time-multistage化は非常に強い数値不安定性を伴うため通常は利用できないが,離散変分法のもたらす安定化効果の方が支配的な差分スキームを構成できれば,安定性と線形性の両方が同時に実現できるのである.この結果,Cahn.Hilliad方程式やEguchi-Oki-Matsumura方程式に対して実際に線型かつ無条件安定な差分スキームを構成し,その性質を数学的に証明することにも成功した.また,後期研究では,その性質が良く知られていないが離散変分法の適用対象となる非線形偏微分方程式を中心に,離散変分法を適用して研究を行ない,これらに関しても非線形性の強さに着目して分類することにより離散化が可能になる萌芽的な結果を得られつつある.以上の結果より,本年度は当初の計画に見込まれた多くの結果が得られたと評価できると考えるものである.

今年的目的是在第一年的研究成果的基础上，将离散变分法应用于许多非线性偏微分方程，对所得的数值方案进行理论分析，并对每个方程进行实际的数值实验结果。目的是为需要的领域做出贡献 该研究是通过应用离散变分方法来进行的由于对这些方程的许多研究也分析了数值格式的性质，因此可以将结果与应用离散变分方法获得的结果进行比较，这可能有助于提高离散变分方法的适用性。进行验证。在这个过程中，我们注意到，当非线性表示为多项式时，可以通过称为时间多级的方法来降低非线性的阶数，并且通过将其与离散变分方法相结合，我们可以开发稳定的线性差分格式。我们发现构造有限差分格式的可能性，其中离散变分方法带来的稳定效果更占主导地位，尽管时间多级通常不可用，因为它涉及非常强的数值不稳定性，但可以同时实现稳定性和线性。因此，我们实际上可以为 Cahn-Hilliad 方程和 Eguchi-Oki-Matsumura 方程构造一个线性且无条件稳定的差分格式，我们也成功地从数学上证明了它的性质。此外，在后来的研究中，我们主要针对其性质尚不为人所知但受离散变分法应用影响的非线性偏微分方程进行了研究。然而，我们开始获得初步结果，通过关注非线性的强度来实现离散化，我认为这可以被评价为已经实现。

项目成果

D.Furihata, T.Matsuo: "A Stable, Convergent, Conservative and Linear Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 20・1. 65-85 (2002)

D.Furihata、T.Matsuo：“Cahn-Hilliard 方程的稳定、收敛、保守和线性有限差分格式”日本工业与应用数学杂志 20・1（2002 年）。

T.Matsuo, M.Sugihara, D.Furihata, M.Mori: "Spatially accurate conservative or dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 19・3. 311-330 (2002)

T.Matsuo、M.Sugihara、D.Furihata、M.Mori：“通过离散变分方法导出的空间精确保守或耗散有限差分格式”日本工业和应用数学杂志 19・3（2002）。

T.Matsuo, M.Sugihara, D.Furihara, M.Mori: "Spatially accurate conservative of dissipative finite difference schemes derived by the discrete variational method"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. (to be appeared).

T.Matsuo、M.Sugihara、D.Furihara、M.Mori：“通过离散变分方法导出的耗散有限差分格式的空间精确守恒”日本工业与应用数学杂志。

T.Matsuo, D.Furihata: "Dissipative or Conservative Finite Difference Schemes for Complex-Valued Nonlinear Partial Differential Equations"Journal of computational Physics. 171・2. 425-447 (2001)

T.Matsuo、D.Furihata：“复值非线性偏微分方程的耗散或保守有限差分方案”计算物理学杂志 171・2（2001）。

D.Furihata: "Finite difference schemes for nonlinear wave equation that inherit energy conservation property"Journal of Computational and Applied Mathematics. 134・1-2. 35-57 (2001)

D.Furihata：“继承能量守恒性质的非线性波动方程的有限差分格式”计算与应用数学杂志134・1-2（2001）。