randomな磁場のあるSchrodinger作用素に関連する問題の研究

随机磁场薛定谔算子相关问题的研究

基本信息

批准号：
13740094
负责人：
上木直昌
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究はrandomな磁場のあるSchrodinger作用素の性質を多角的に研究することを目的としているが、特に本年は2次元Euclid空間上の定常でergodicな確率場を磁場としてもつPauli Hamiltonianの状態密度関数の挙動に関連する結果を得た。まずこの状態密度関数の0におけるjumpの下限を磁場となっている確率場の1点における平均の絶対値の定数倍の形で与えた。この下限により磁場の1点における平均が0でないとき状態密度関数は0においてjumpし、従ってPauli Hamiltonianは0を無限重の固有値としてもつことが分かる。これは1つの値が無限重の固有値になることをまとまったrandomなSchrodinger作用素のclassで示せた数少ない例である。またこの下限は特に確率場が正の下限をもつときにはjumpの大きさに一致することも示した。以上のことはPauli Hamiltonianのもつ超対称性の構造と状態密度関数のLaplace変換のWiener積分表示を利用することによって示した。次に確率場の平均が0の場合について、確率場が座標変数の1つに依らない場合等、基本的な場合に状態密度関数の0の近傍における下限を対数関数を含む式で与えた。この下限は確率場が座標変数の1つに依らないwhite noiseとなっている場合にComtet、Georges、Le Doussalがwhite noiseの各点独立性を用いて形式的な方法で与えた状態密度関数のexact formulaと同じorderをもち、Pauli Hamiltonianの状態密度関数が他のよく研究されているSchrodinger作用素の場合と違って急激に0から立ち上がること、従ってPauli Hamiltonianが0に近いenergyの状態を沢山もつことを示している。本研究ではこのことを確率場に各点独立性が無い状況においてAharonov、Casherの理論を厳密に応用することによって示した。

这项研究的目的是从各个角度研究具有随机磁场的薛定谔算子的性质，但今年我们将特别关注二维欧几里得上具有稳态和遍历随机场的泡利哈密顿状态密度我们获得了与函数行为相关的结果。首先，该状态密度函数在0处的跳跃下限以常数乘以随机场（即磁场）的一点的平均值的绝对值的形式给出。这个下限表明，当某一点的磁场平均值不为0时，状态密度函数在0处跳跃，因此泡利哈密顿量的无限加权特征值为0。这是可以使用一类随机薛定谔算子证明一个值是无限多个特征值的少数示例之一。我们还表明，该下界与跳跃的大小一致，特别是当随机场具有正下界时。利用泡利哈密顿量的超对称结构和态密度函数拉普拉斯变换的维纳积分表示证明了上述内容。接下来，对于随机场平均值为 0 的情况，我们使用基本情况下包含对数函数的公式给出了 0 附近的状态密度函数的下限，例如当随机场为不依赖于坐标变量之一。这个下限是 Comtet、Georges 和 Le Doussal 在形式化方法中给出的状态密度函数，当随机场是不依赖于其中一个坐标变量的白噪声时，使用白噪声的每个点的独立性。与精确公式相同的阶数，并且泡利哈密顿量的状态密度从 0 突然上升，这与其他经过充分研究的薛定谔算子的情况不同，因此泡利哈密顿量它表明哈密顿量有许多能量接近于0的状态。在本研究中，我们通过在随机场不具有点独立性的情况下严格应用阿哈罗诺夫和卡舍尔的理论来证明了这一点。