非線型パラメータ依存方程式に対する精度保証付き数値計算の研究

非线性参数相关方程保精度数值计算研究

基本信息

批准号：
13740074
负责人：
皆本晃弥
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Saga University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

精度保証付き数値計算に関する研究のほとんどは,多項式レベルの非線形項を持つ楕円型方程式を対象としていた.この適用範囲を広げるため,より非線形性が強い問題を具体的に考えることにした.Frank-Kamenetskiiによって提案された燃焼モデルは,強非線形放物型方程式の代表的な例であるが,まずは,これの定常問題(Perturbed Gelfand方程式という)の精度保証について研究した.Perturbed Gelfand方程式は,非線形パラメータ依存楕円型方程式であり,その解曲線はいくつかのTurning Pointを持つことが知られている.この方程式について調べていく過程で,2つのSimple Turning Pointがくっつく点(Double Turning Pointという)の存在と一意性については証明されていないことに気付き,Double Turning Pointに対して精度保証付き数値計算を試みることにした.そのために,Caluwaerts(1985)が導入した拡大方程式を利用してDouble Turning Pointの持つ特異性を取り除き,この拡大方程式に中尾の方法を適用することで,Double Turning Pointに対する精度保証付き数値計算を行ない,数値例を与えた.しかし,今回,使用した拡大方程式はdouble turning pointが存在するための必要条件しか満たしていない.そこで,検証で得られた値を使い,精度保証付きで解曲線を描き,double turning pointの存在を主張した.また,楕円型方程式だけでなく,空間1次元および2次元矩形領域における半線形放物型方程式の解の存在および一意性を数値的に保証する手法を提案した.さらに,この手法を同じ領域において半線形双曲型方程式にも拡張した.

具有保证准确性的数值计算的大多数研究都集中在具有多项式非线性项的椭圆方程上。为了扩大此范围，我们决定考虑一个更非线性的问题。 Frank-Kamenetskii提出的燃烧模型是强大的非线性抛物线方程的典型示例，但首先我们研究了此稳态问题的准确性保证（扰动的Gelfand方程）。扰动的Gelfand方程是一个非线性参数依赖性椭圆方程，其溶液曲线已知具有多个转动点。在调查该方程式的过程中，我们意识到两个简单的转折点的存在和唯一性（双重转弯点）尚未得到证明，我们意识到，两个简单的转折点的存在和唯一性相互附加，并且我们决定使用点数的数字计算，并确保精确的数值计算。为此，我们使用了Caluwaerts（1985）引入的放大方程式来删除双重转弯点的奇异性，并将Nakao的方法应用于该放大方程式，以执行数值计算，并确保双重转弯点的准确性保证，并提供了一个数值示例。但是，这次使用的放大方程仅满足存在双重转弯点的要求。因此，我们使用从验证获得的值以准确的保证并进行双重转动来绘制解决方案曲线。他主张存在要点。他还提出了一种方法来保证在空间一维和二维矩形区域以及椭圆方程的空间一维和二维矩形区域中半线性抛物线方程解决方案的存在和唯一性。此外，该方法扩展到同一区域的半线性双曲线方程。