確率論のスペクトル論的研究

概率论的谱研究

• 批准号: 13740057
• 负责人: 白井 朋之
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Kanazawa University (2002)Tokyo Institute of Technology (2001)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740057/
• 关键词: ランダム場; フェルミオン; グラウバーダイナミクス; ボゾン; 弱ブロッホ性

ランダム行列(GUE)の固有値のなすランダム場のスケーリング極限としてあらわれるランダム場の一般化についての研究と,そのランダム場を可逆測度とする時間発展の研究を主に行なった.局所的トレース族に属する非負定値積分作用素のスペクトル半径が1以下のとき,フレドホルム行列式をラプラス変換とするランダム場が一意的に存在することが知られている.特別な場合はフェルミオンを記述するランダム場となり,フェルミオンランダム場と呼ばれる.特に底空間がZ^dなどの離散空間の場合には自然に上の条件を満たすことが示され,そのランダム場はある{0,1}^<Z^d>上の確率測度と同一視される.さらに積分作用素が畳み込み作用素であるときには,Z^dの空間的な平行移動に関して不変な確率測度が得られる.この確率測度に関して,混合性,エントロピー,ギブス性などのエルゴード論的性質を主に研究した.また,この確率測度を可逆測度とする時間発展(グラウバーダイナミクス)の構成も行なった.この構成のためには,各サイトにおける0と1のフリップ率が必然的に長距離相関を持つものを考える必要がある.長距離相関を持つ場合は短距離相関のフリップ率を持つ時間発展の構成に比べるとやさしくないが,フェルミオンランダム場の構造を用いてその証明を行なった.また構成されたグラウバーダイナミクスに対して,積分作用素が恒等作用素の定数倍に近いという条件のもと,時間的エルゴード性を示す対数ソボレフ不等式も証明した.

我主要研究了随机场的泛化，表现为随机矩阵（GUE）的特征值形成的随机场的尺度极限，以及随机场的时间演化作为可逆测度。它属于局部当非负定积分算子的谱半径小于或等于1时，存在一个唯一的随机场，其拉普拉斯变换为Fredholm行列式。已知这种特殊情况是描述费米子的随机场，称为费米子随机场。特别地，当基空间是Z^d这样的离散空间时，自然满足上述条件。随机场是用某个 {0,1}^<Z^d> 上的概率测度来识别的。此外，当积分算子是卷积算子时，Z^d 上的空场我们可以获得相对于中间平移不变的概率测度，我们主要研究了可混合性、熵和吉布斯性质等遍历性质。此外，我们还研究了该概率测度的时间演化。 （格劳伯动力学）。对于这种配置，我们认为每个位点的 0 和 1 翻转率必然具有长程相关性。与具有短程相关性翻转率的时间演化结构相比，具有长程相关性的情况并不容易，但我们使用费米子随机场的结构证明了这一点。对于格劳伯动力学，我们还证明了对数索博列夫不等式。在积分算子接近恒等算子的常数倍的条件下表现出时间遍历性。

项目成果

Y.Takahashi, T.Shirai: "Fermin process and Frechholm determinant"Proceedings of the Second ISAAC Congress. Vol.1. 15-23 (2000)

Y.Takahashi、T.Shirai：“Fermin 过程和 Frechholm 行列式”第二届 ISAAC 大会论文集。