結び目の外部に埋め込まれた曲面とはめ込まれた円板の研究

曲面和嵌入结外侧的嵌入盘的研究

• 批准号: 02J07265
• 负责人: 松田 浩
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Hiroshima University (2003)The University of Tokyo (2002)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02J07265/
• 关键词: (1,1)-結び目; フレアーホモロジー; ザイフェルト曲面; ブレイド葉層

今年度は(1,1)-結び目の結び目フレアーホモロジー群の計算方法についての研究を行った。特に(1,1)-結び目の補空間のヘガード分解を与えるヘガード曲面からその結び目のフレアーホモロジー群を計算する具体的な方法について研究した。3次元球面内の結び目に対して定義される不変量の1つとしてジャボー氏とオズバス氏は結び目フレアーホモロジー群と呼ばれる不変量を2002年に発表された論文の中で定義した。この不変量は結び目の種数を決定し4次元種数、結び目解消数などに下からの評価を与えるということが彼らの一連の論文の中で示されている。そして彼らはいくつかの例についてこの不変量を標数2の体を係数として計算している。しかし、この計算の中であらわれるモジュライ空間の向きについては全く考察されていない。そこで3次元球面内の(1,1)-結び目についてこのモジュライ空間の向きについての考察をおこない、これらの向きを与える具体的な方法とこれらの結び目に対するフレアーホモロジー群を整数を係数として計算する方法の1つを提案した。特に(1,1)-結び目でありかつ交点数が10以下の結び目と(2,奇数,奇数)型のプレッツェル結び目についてそれらの結び目フレアーホモロジー群を実際に整数係数で計算した。この計算の結果、(2,奇数,奇数)型のプレッツェル結び目についてその4次元種数、結び目解消数を決定することができた。今後はここで開発した計算方法を(1,1)-結び目をその真部分集合として含むトンネル数が1の結び目に対しても適用できるようにさらに拡張していきたい。

今年，我们研究了(1,1)-结的结耀斑同调群的计算方法。特别是，我们研究了一种从 Heggard 曲面计算 (1,1)-结的耀斑同调群的具体方法，该方法给出了结的互补空间的 Heggard 分解。在 2002 年发表的一篇论文中，Jabbo 和 Ozbas 定义了一个称为结耀斑同调群的不变量，它是为 3 维球体中的结定义的不变量之一。他们在一系列论文中表明，这个不变量决定了结的属数，并提供了 4 维属数、结溶解数量等的向下评估。他们使用特征 2 的字段作为系数来计算一些示例的不变量。然而，该计算中根本没有考虑出现的模空间的方向。因此，我们将考虑 3 维球体中 (1,1)-结的模空间的方向，并将找到给出这些方向的具体方法以及使用整数计算这些结的耀斑同调群的方法作为系数之一。特别是，我们实际上使用交点数量小于 10 的 (1,1)-结和 (2, odd, odd) 类型椒盐结结的整数系数计算了结耀斑同源群。作为该计算的结果，我们能够确定（2，奇数，奇数）型椒盐卷饼结的四维属和结溶解数。将来，我们希望进一步扩展这里开发的计算方法，使其可以应用于隧道数为 1 的节点，包括 (1,1)-节点作为其真实子集。

项目成果

松田 浩: "Small knots in some closed Haken 3-manifolds"Topology and Its Applications. 135・1-3. 149-183 (2004)

Hiroshi Matsuda：“一些闭合 Haken 3 流形中的小结”拓扑及其应用 135・1-3 (2004)。