Lie環の普遍包絡環の研究とdual pair理論

李代数通用包络环与对偶对理论的研究

基本信息

批准号：
01J02834
负责人：
伊藤稔
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J02834/
关键词：
dual pair 普遍包絡環 Capelli恒等式

项目摘要

直交Lie環のsplitした実現の普遍包絡環において,異なる非可換行列式を用いて表されるふたつの中心元の関係を直接証明した.第一の中心元は最近和地輝仁によってcolumn-determinantを用いて与えられたものであり,その固有値が簡単に計算できるという点で非常に重要である.和地はこの元が対称化した行列式で表される中心元と密接な関係にあることも示したが,その証明は非自明なふたつの結果に基づくものであった.この状況に対して私はこれらふたつの中心元の関係を直接示すことに成功した.これは「固有値は容易に計算できるが中心元であることは自明でない元」と「中心元であることは明らかであるが固有値の計算は難しい元」とを結び付けるものであり,逆に和地の元の中心性の問題と対称化した行列式の固有値の計算の問題を同時に解決するという点で優れている.現在,このような関係をさらに一般的な枠組みに拡張することを計画している.実際,既に計算機を用いた実験を通じてsymplectic Lie環の普遍包絡環におけるPermanent型の中心元については同様の結果が成立することをほぼ確信している.これらの関係式は普遍包絡環の中心元の2種類の表示についてそれぞれの中心性の問題と固有値の計算の問題を同時に解決するという点で注目すべきものである.より難しいと思われるが,直交Lie環の普遍包絡環におけるpermanent型の中心元,symplectic Lie環の普遍包絡環における行列式型の中心元についても同様め結果が期待される.また,和地の結果の原型には直交Lie環の"standard realization"におけるHoweと梅田による結果があるが,両者を含む定理が一般の実現において可能なのではないかと考えている.

在正交李代数的分裂实现的通用包络环中，我们直接证明了使用行列式给出的不同非交换行列式表示的两个中心元素之间的关系。，这一点非常重要，因为它的特征值可以很容易地计算出来。Wachi 还表明该元素与对称行列式表示的中心元素密切相关，但他没有证明它是基于两个非平凡的结果。这种情况，我我们成功地直接展示了这两个中心要素之间的关系，它连接着“难元”，反过来，它连接着“洼极元”。它的优秀之处在于它同时解决了对称行列式的中心性问题和计算特征值的问题。目前，我们计划将这种关系扩展到更通用的框架，事实上，通过实验使用。计算机，我们已经发现辛我们几乎可以肯定，类似的结果也适用于李代数的通用包络环中的永久类型的中心元素。这些关系是值得注意的，因为它同时解决了问题和计算特征值的问题。虽然看起来比较困难，但它是正交李代数万能包络环中永久型的中心元素。李代数的万能包络环中的行列式中心元素也有望得到类似的结果。另外，Waji结果的原型是Howe和Umeda关于正交李代数的“标准实现”的结果，我认为是一个定理。包括两者在内的一般情况下是可能实现的。