曲面結び目のプラット表示に関する分類問題とその応用

弯曲结平面表示的分类问题及其应用

基本信息

批准号：
22KJ2189
负责人：
安田順平
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

4次元空間内に埋め込まれた閉曲面を曲面結び目といい、2次元球面と同相な曲面結び目を2次元結び目という。ブレイド状曲面は4次元球体内で分岐被覆の構造を持つ境界付き曲面である。ブレイド状曲面を用いて曲面結び目を表示する手法としてプラット表示がある。曲面絡み目のプラット表示の複雑度をパラメータ化することで、正整数値の曲面結び目の不変量であるプラット指数が定義される。本研究の目標は、プラット表示を用いて曲面結び目を理解するために必要な基礎理論の整備、及びプラット指数に関する曲面結び目の分類である。本年度行った研究は次の2つである。(1) 対称カンドルは曲面結び目と相性の良い代数系である。また結び目対称カンドルは曲面結び目に対して定まる対称カンドルであり、曲面結び目の不変量を構成する上で重要な概念の1つである。本研究において、この結び目対称カンドルの表示をプラット表示から導出する手法を開発した。また結び目対称カンドルの表示を用いることによって対称カンドル彩色数と呼ばれる曲面結び目の整数値不変量が得られる。これにより、対称カンドル彩色数とプラット指数の不等式評価を与えることができた。この結果の応用として、与えられた正整数をプラット指数に持つ曲面結び目を無限個構成することができた。(2) プラット指数の値が1となる曲面絡み目の分類はすでに判明している。本研究ではブレイド状曲面のブレイドシステムを用いることにより、狭義のプラット指数の値が2である2次元結び目はリボン型であることが分かった。本年度の成果については国内外の研究集会や日本数学会で口頭講演を行った。本成果をまとめた論文は投稿準備中である。

嵌入4维空间的封闭曲面称为曲面结，与2维球体同胚的曲面结称为2维结。刀片状表面是在 4 维球体内部具有分支覆盖结构的有界表面。平面显示是利用刀刃状曲面来显示曲面结的方法。通过参数化表面结的普拉特表示的复杂性，定义了普拉特指数，它是具有正整数值的表面结的不变量。本研究的目标是发展使用普拉特表示理解表面结所需的基本理论，并根据普拉特指数对表面结进行分类。今年进行了以下两项研究。 (1) 对称烛线是与表面结兼容的代数系统。另外，结对称坎德尔是针对曲面结确定的对称坎德尔，是构造曲面结不变量的重要概念之一。在本研究中，我们开发了一种从普拉特表示中推导出结对称蜡烛表示的方法。另外，利用结对称Candor的表示，我们可以得到表面结的一个整数值不变量，称为对称Candle色数。因此，我们能够对对称 Quandl 色数和普拉特指数进行不等式评估。作为这一结果的应用，我们能够构造无限数量的表面结，其普拉特指数被赋予正整数。 (2)普拉特指数值为1的弯杆的分类已经确定。在这项研究中，通过使用具有编织曲面的编织系统，我们发现狭义普拉特指数值为2的二维结是带状的。我们在国内外研究会议以及日本数学会上对今年的成果进行了口头报告。目前正在准备提交一份总结这一结果的论文。