楕円放物型方程式系の非線形境界値問題に関する研究

椭圆抛物方程组非线性边值问题研究

• 批准号: 07740094
• 负责人: 飯田 雅人
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740094/
• 关键词: parabolic equation; reaction diffusion system; nonlinear baundary condition; chemical reaction; asymptotic behavior; Lyapunov function; energy method

本研究は,長い管状領域内を流れる2種類の化学物質の間で起こる界面化学反応のメカニズムを微分方程式によって記述した数理モデルに対して,解の漸近的な挙動を数学の立場から明らかにすることを目的としている。このモデルは,化学工学者が応用に根差して提案したものであり,半無限の長さの柱状領域における楕円放物型方程式系の非線形境界値問題として表される。この境界値問題に対する解の存在・一意性・滑らかさは既に知られているが,解の定性的な性質についてはほとんど何もわかっていなかった。本研究は,モデルが現象を反映していることを確かめるための第一歩として,領域内の無限遠方における解の漸近的な状態を調べた。その結果,解は無限遠方で化学的平衡状態に対応する定数に収束することがわかり,さらに,その収束の速さまで精密に求めることができた。このことは,「管内の流れに添って遠方まで行き着いた先では,反応が充分進んで化学的な平衡状態に達する」という実際の現象に対応している。したがって,この結果によってモデルの妥当性がかなり保証されたと考えてよい。なお,この境界値問題の数学的な難しさは,比較原理が成り立たない系であることと,拡散係数が境界において特異性をもっていることにある。この困難を克服するために,境界上で退化する重みを付加したL_2空間でのSobolev型の埋め込み不等式を導き,それを巧みに応用することにより,解の各導関数に対するLyapunov関数を系統的に構成していく手法を確立した。これらの結果は,Osaka Journal of Mathematics Vol.32に発表した論文,およびVol.33に発表予定の論文にまとめられている。

这项研究旨在从数学角度阐明溶液的渐近行为，用于数学模型，该模型描述了使用微分方程在长管区域内流动的两种化学物质之间发生的界面化学反应的机制。该模型是由化学工程师在应用中提出的，并表示为半无限长度柱状区域椭圆形抛物线方程系统的非线性边界值问题。解决方案问题的解决方案的存在，独特性和平滑度已经知道，但是对解决方案的定性性质知之甚少。这项研究研究了域内无穷大的溶液的渐近状态，作为确认模型反映现象的第一步。结果表明，该溶液会收敛到对应于无穷大的化学平衡状态的常数，此外，可以精确确定收敛速度。这对应于“反应良好进展并在管道内流动后的距离处达到化学平衡状态的现象”。因此，可以认为这一结果是对模型有效性的可观保证。该边界值问题的数学难度是它是一个系统，比较原理无效并且扩散系数在边界处具有奇异性。为了克服这一难度，我们已经建立了一种通过在L_2空间中推导Sobolev的嵌入式不平等的嵌入式不等式来系统地构建Lyapunov函数的方法，该空间已添加了边界上的重量，并通过巧妙地应用了它。这些结果总结在《大阪数学杂志》卷中发表的论文中。 32和计划在第1卷中发表的论文中。 33。