楕円放物型方程式系の非線形境界値問題に関する研究

椭圆抛物方程组非线性边值问题研究

• 批准号: 07740094
• 负责人: 飯田 雅人
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740094/
• 关键词: parabolic equation; reaction diffusion system; nonlinear baundary condition; chemical reaction; asymptotic behavior; Lyapunov function; energy method

本研究は,長い管状領域内を流れる2種類の化学物質の間で起こる界面化学反応のメカニズムを微分方程式によって記述した数理モデルに対して,解の漸近的な挙動を数学の立場から明らかにすることを目的としている。このモデルは,化学工学者が応用に根差して提案したものであり,半無限の長さの柱状領域における楕円放物型方程式系の非線形境界値問題として表される。この境界値問題に対する解の存在・一意性・滑らかさは既に知られているが,解の定性的な性質についてはほとんど何もわかっていなかった。本研究は,モデルが現象を反映していることを確かめるための第一歩として,領域内の無限遠方における解の漸近的な状態を調べた。その結果,解は無限遠方で化学的平衡状態に対応する定数に収束することがわかり,さらに,その収束の速さまで精密に求めることができた。このことは,「管内の流れに添って遠方まで行き着いた先では,反応が充分進んで化学的な平衡状態に達する」という実際の現象に対応している。したがって,この結果によってモデルの妥当性がかなり保証されたと考えてよい。なお,この境界値問題の数学的な難しさは,比較原理が成り立たない系であることと,拡散係数が境界において特異性をもっていることにある。この困難を克服するために,境界上で退化する重みを付加したL_2空間でのSobolev型の埋め込み不等式を導き,それを巧みに応用することにより,解の各導関数に対するLyapunov関数を系統的に構成していく手法を確立した。これらの結果は,Osaka Journal of Mathematics Vol.32に発表した論文,およびVol.33に発表予定の論文にまとめられている。

这项研究从数学的角度阐明了解决方案的明显行为，这些数学模型描述了通过微分方程在长圆形区域中流动的两个化学物质之间发生的表面反应的机械机制。该模型是由化学工程师在应用程序上提出的，并表示为半长柱区域中椭圆形抛物线方程系统的非线性边界值。解决方案对该边界值的存在，独特性和平滑度已经众所周知，但几乎没有溶液的定性特性。这项研究研究了无限远处无限溶液在无限距离中的父母身份，这是确认该模型反映现象的第一步。结果，发现该溶液会收敛到与化学平衡状态相对应的常数，并能够以其收敛速度准确地寻求。这对应于实际现象，即“根据管辖区的流量达到目的地时，反应会进展并达到化学平衡。”因此，可以认为模型的结果得到了相当大的保证。该边界值问题的数学难度是比较原理是密不可分的，并且扩散系数在边界处具有特异性。为了克服这一难度，每种解决方案的Lyapunov函数是通过在L_2空间中嵌入Sobolev -type嵌入不等式的，从而增加了要在边界上退化的权重并巧妙地应用了配置方法。这些结果汇编在大阪数学杂志第32卷和第33卷中发表的论文中。