抽象ウィナー空間の複素微分幾何学的構造の研究

抽象维纳空间的复微分几何结构研究

基本信息

批准号：
06740166
负责人：
谷口説男
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740166/
关键词：
抽象ウィナー空間概複素構造マリアヴァン解析

项目摘要

近年展開されているマリアヴァン解析に基づく抽象ウィナー空間B上の確率微分幾何学のB観点からすると、Bを決定する再生核ヒルベルト空間HはBの接空間と見なされる。Bが複素抽象ウィナー空間のときにはH上に自然に概複素構造、すなわち、2乗すると-1となるH上の等距離変換Jが誘導される。有限次元多様体上のニューランダ=ニーレンバーグの定理に鑑み、上の逆が成り立つか、すなわち、上の性質をもつ等距離変換Jが与えられたときにそれがB上の複素構造を定めるかどうかは自然な疑問である。本研究において、この問いに測度論的な観点から肯定的に答えることに成功した。また、この概複素構造から複素構造が従うことを用いて、複素抽象ウィナー空間上の正則関数についての研究を概複素構造をもつ抽象ウィナー空間上の正則関数の研究に拡張した。特に、Bの開集合上の正則関数の測度零の集合であるHへの制限(スケルトン)がルベ-グ密度関数を用いて測度論的に可能であること、さらにそのスケルトンが正則関数を一意的に決定していることを見た。これらの結果は、論文にまとめ現在投稿中である。この研究の実施期間中に、マリアヴァン解析の創始者であるポール・マリアヴァン教授が京都大学を3カ月訪問された。この研究の研究旅費を利用して、教授と数回の研究討論をする機会を得た。同教授との討論を通じて、一般の概複素構造を持たない抽象ウィナー空間を複素化する手法を考案し、その手法で複素化された空間の丁度半分の次元を持つ部分多様体の存在を得た。従来のマリアヴァン解析で取り扱われていた部分多様体は余次元有限のものだけであるから、この余次元無限大の部分多様体は非常に興味深い研究対象である。この部分多様体上での確率解析については現在研究中である。

从近年来发展起来的基于Mariavan分析的抽象维纳空间B的随机微分几何B视角来看，决定B的再现核希尔伯特空间H被认为是B的切空间。当B是复抽象维纳空间时，自然会在H上导出一个近似复结构，即H上的一个平方为-1的等距变换J。鉴于有限维流形上的 Neulander-Nirenberg 定理，上述逆命题是否成立，即给定具有上述性质的等距变换 J，它是否决定了 B 上的复结构？这是一个自然的问题。在本研究中，我们成功地从测度论的角度积极回答了这个问题。此外，利用复结构推导出近似复结构的事实，我们将复抽象维纳空间上的全纯函数的研究扩展到具有近似复结构的抽象维纳空间上的全纯函数的研究。特别地，我们证明了对 H 的限制（骨架），它是 B 的开集上的全纯函数的零测度集，可以使用勒贝格密度函数以测度论的方式实现，并且该骨架唯一我看到它已经决定了。这些结果已被汇编成一篇论文，目前正在提交。在此研究期间，Mariavan分析创始人Paul Mariavan教授访问了京都大学三个月。利用这次研究的研究旅费，我有机会与教授进行了几次研究讨论。通过与同一位教授的讨论，他设计了一种对不具有一般近似复结构的抽象维纳空间进行复形的方法，并通过该方法发现了恰好是复空间一半维数的子流形的存在。由于传统 Mariavan 分析中处理的唯一子流形是具有有限余维的子流形，因此这种具有无限余维的子流形是一个非常有趣的研究目标。我们目前正在研究这个子流形的随机分析。