三次元多様体の位相不変量と幾何

三维流形的拓扑不变量和几何

• 批准号: 06740066
• 负责人: 小林 毅
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Nara Women's University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 1995
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740066/
• 关键词: ヘ-ガード分解; 結び目; 種数; タングル分解; thin position

今年度の研究により次のような結果が得られた.1.三次元多様体のHG-complexityと結び目のトンネル数の超加法性について一般に2次元トーラスを境界に持つコンパクト三次元多様体に対して,HG-complexityと呼ばれる,numericalな不変量を定義し,これを用いてトンネル数が連結和に関して超加法性になるような結び目の新しい例を見つけた.2.結び目のcanonical genusについて.古典的結び目Kに対しては種数(genus)と呼ばれるnumericalな不変量g(K)が定まるが,これとは別にfree genusと呼ばれる不変量g_f(K)が定まり,一般に不等式g(K)≦g_f(K)が成立することが知られている.最近大阪市大の河内は結び目Kのcanonical genus g_c(K)と呼ばれる量を提案しており,これについては不等式g(K)≦g_f(K)≦g_c(K)の成立することが,その定義から直ちにわかる.今年度大阪市大の小林雅子との共同研究が上記不等式がある結び目Kについて、真に不等号であることを示した.即ち:定理.任意の自然数mに対して次の性質を持つ結び目K_mが存在する.g_c(K)=3m,g_f,g(K)=m.3.結び目のthin positionから定まるタングル分解について.D.Gabaiによって定義された古典的結び目のthin positionと呼ばれる概念が定義されたが,これは三次元多様体の研究で非常に有効な道具であることが多くの数学者によって確認されている.今年度D.Heathとの共同研究で,この結び目のthin positionから本質的球面による極大なタングル分解が定まることを示した.特にこの応用として与えられた結び目のthin positionを見つける為の手法を与えた.

今年的研究取得了以下成果： 1.关于三维流形的HG复杂性和结中隧道数的超可加性。一般来说，对于一个边界为二元流形的紧三维流形， -维环面，我们定义了一个称为 HG 复杂度的数值不变量，并用它来找到一个新的结示例，其中隧道的数量相对于连接和 2 是超加性的。规范结。关于亏格。对于一个经典结K，确定了一个称为亏格的数值不变量g(K)，但除此之外，还确定了一个称为自由亏格的不变量g_f(K)，一般来说，不等式g是已知的(K)≤g_f(K)成立。最近，大阪市立大学的Kawachi研究了结K的规范属。我们提出了一个叫做g_c(K)的量，从它的定义立刻就可以清楚地看出不等式g(K)≤g_f(K)≤g_c(K)成立。今年，大阪市立大学的小林与雅子合作研究对于上述不等式我们已经证明，对于某个结K，存在一个真不等式，即： 对于任何自然数m，都存在一个具有以下性质的结K_m：g_c(K)=3m,g_f,g(K )。 =m.3.结薄关于根据位置确定的缠结分解，D. Gabai定义了一个称为经典结的薄位置的概念，这是三维流形研究中非常有效的工具，在今年与D. Heath的联合研究中。表明由于基本球面而导致的最大缠结分解可以从该结的薄位置确定。特别是，作为其应用，我们我给出了一个找到位置的方法。